Основная теорема арифметики — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}} ==Эквивалентность двух определений простых чисел== ==Основная теорема ариф…»)
 
(иначе происходит эксплуатация ещё не доказанной теореммы в предложении 4 абзаца про существование)
 
(не показано 13 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
==Лемма Евклида==
  
==Эквивалентность двух определений простых чисел==
+
{{Лемма
 +
|id=th1
 +
|statement=
 +
Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух целых чисел <tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
 +
: <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).
 +
Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем
 +
: <tex>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</tex>
 +
Оба слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>, ч.т.д.
 +
}}
  
 
==Основная теорема арифметики==
 
==Основная теорема арифметики==
 +
 +
{{Теорема
 +
|id=th666
 +
|statement=
 +
Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
 +
|proof=
 +
'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего <tex>n</tex>. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
 +
 +
'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
 +
}}
  
 
[[Категория: Классы чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]

Текущая версия на 21:04, 19 ноября 2019

Лемма Евклида[править]

Лемма:
Если простое число [math]p[/math] делит без остатка произведение двух целых чисел [math]x\cdot y[/math], то [math]p[/math] делит [math]x[/math] или [math]y[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x\cdot y[/math] делится на [math]p[/math], но [math]x[/math] не делится на [math]p[/math]. Тогда [math]x[/math] и [math]p[/math] — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа [math]u[/math] и [math]v[/math], что

[math]x\cdot u+p\cdot v=1[/math] (соотношение Безу).

Умножая обе части на [math]y[/math], получаем

[math](x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.[/math]
Оба слагаемых левой части делятся на [math]p[/math], значит, и правая часть делится на [math]p[/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

Основная теорема арифметики[править]

Теорема:
Каждое натуральное число [math]n\gt 1[/math] представляется в виде [math]n=p_1\cdot\dots\cdot p_k[/math], где [math]p_1,\dots,p_k[/math] — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Существование. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего [math]n[/math]. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если [math]n[/math] составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, [math]n[/math] тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть [math]p[/math] — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если [math]p[/math] входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на [math]p[/math] и получить два разных разложения числа [math]\dfrac{n}{p}[/math], что невозможно. А если [math]p[/math] не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на [math]p[/math], а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
[math]\triangleleft[/math]