Изменения

{{Лемма|id=th1|statement=Эквивалентность Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух определений простых целых чисел<tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.|proof=Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что: <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем: <tex>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</tex>Оба слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>, ч.т.д.}}

===Лемма Евклида=== {{ЛеммаТеорема|id=th1th666

Если простое Каждое натуральное число <mathtex>pn>1</mathtex> делит без остатка произведение двух целых чисел представляется в виде <mathtex>xn=p_1\cdot y\dots\cdot p_k</mathtex>, то где <mathtex>pp_1,\dots,p_k</math> делит <math>x</math> или <math>y</mathtex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

'''Существование'''. Пусть <mathtex>x\cdot yn</math> делится на <math>p</mathtex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, но меньшего <mathtex>xn</mathtex> . Оно не делится на может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <mathtex>pn</mathtex>составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Тогда Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, <mathtex>xn</mathtex> и тоже является произведением простых чисел. Противоречие. '''Единственность'''. Пусть <mathtex>pn</mathtex> — взаимно простыенаименьшее натуральное число, следовательноразложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, найдутся такие целые числа пусть <mathtex>up</mathtex> и  — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <mathtex>vp</mathtex>входит и в другое разложение, что: мы можем сократить оба разложения на <mathtex>x\cdot u+p\cdot v=1</mathtex> (соотношение Безу).Умножая обе части на и получить два разных разложения числа <mathtex>y\dfrac{n}{p}</mathtex>, получаем: <math>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=yчто невозможно.А если </math>Оба слагаемых левой части делятся на <mathtex>p</mathtex>не входит в другое разложение, значит, и правая часть то одно из произведений делится на <mathtex>p</mathtex>, ча другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см.т.двыше), что противоречит их равенству.