Изменения

|definition='''Панциклический граф''' (англ. ''pancyclic graph'') {{---}} граф, в котором есть циклы всех длин от <tex> 3 </tex> до <tex> n </tex> . Если граф содержит все циклы от <tex> r </tex> до <tex> n </tex>, то такой граф называют <tex> r </tex>-панциклическим.

{{Определение|definition='''Предпосылки к теореме<tex> r </tex>-панциклический граф'''(англ. [https://en.wikipedia.org/wiki/Tur%C3%A1n%27s_theorem#Mantel's_theorem Теорема Мантела](частный случай [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0 теоремы Турана]) утверждает, что для любой граф на '<tex> n r </tex> вершинах, у которого количество ребер не меньше -pancyclic graph'') {{---}} граф содержит все циклы от <tex> n^2 / 4 r </tex>, либо содержит треуголник либо является до <tex>K_{n / 2, n / 2}</tex>.}}

Пусть <tex>G(V, E) </tex> {{---}} гамильтонов граф, <tex>|V| = n, |E| \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2/}{4 } </tex>.

#<tex> G </tex> = <tex>K_{\genfrac{}{}{}{}{n / }{2}, \genfrac{}{}{}{}{n / }{2}}</tex>

[[Файл:Circle 1.jpg|200px|left|thumb| <tex> v_k </tex> на дуге <tex> (v_{j + l - 1}, v_{j + l}, v_{j -1}) </tex> и ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+3}</tex>) выделены. Дуги и ребра, окрашенные в зеленый цвет, образуют цикл длины l]] [[Файл:Circle 2.jpg|200px|right|thumb| <tex> v_k </tex> на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3}, v_{j + l - 2}) </tex> и ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+1}</tex>) выделены. Дуги и ребра, окрашенные в зеленый цвет, образуют цикл длины l]] Обозначим как <tex> C=v_1 v_2 v_3 \ldots v_n </tex> гамильтонов цикл в графе <tex> G </tex>. Для простоты расположим <tex> C </tex> на окружности. Также подразумевается, что все индексы при вершинах берутся по модулю, то есть <tex> v_j = v_{((j - 1)\bmod n) + 1} </tex>.  Пусть граф не панциклический, тогда в неи нет цикла длины <tex> l </tex>, <tex> 3 \leqslant l \leqslant n-1 </tex> (по условию в графе существует гамильтонов цикл, длина которого равна <tex> n </tex>). Рассмотрим две соседние вершины <tex> v_j v_{j+1} </tex> и вместе с ними рассмотрим следующие пары:

Обозначим как Для <tex> C=v_1 v_2 v_3 \ldots v_n k</tex> гамильтонов цикл в графе таких, что <tex> G v_k </tex>. Для простоты расположим лежит на дуге <tex> C (v_{j + l - 1}, v_{j + l}, v_{j -1}) </tex> на окружности.Также подразумеваетсярассмотрим пары (<tex>v_j, что все индексы при вершинах берутся по модулю, т.е. v_k</tex>) и (<tex> v_j = v_{(j +1}, v_{k- 1) mod n l+ 13} </tex>. )

Пусть в графе нет цикла длины Для <tex> l k</tex>таких, что <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3 \leqslant }, v_{j + l \leqslant n-1 2}) </tex> рассмотрим пары (по условию в графе существует гамильтонов цикл, длина которого равна <tex> n v_j, v_k</tex>). Рассмотрим две соседние вершины и (<tex> v_i v_{ij+1}, v_{k-l+1} </tex> и вместе с ними рассмотрим следующие пары: )

Для При добавлении таких пар ребер в графе появляется цикл длины <tex>kl </tex> таких. Действительно:*Рассмотрим первый случай, что когда <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + l - 1}, v_{j + l}, v_{j -1}) </tex> рассмотрим пары и существуют ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+3}</tex>) . Длина цикла равна <tex> len((v_{k - l + 3}, v_{k - l + 4}, v_{k})) + 3 = k - (k - l + 3) + 3 = l - 3 + 3 = l </tex>. *Рассмотрим второй случай, когда <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3}, v_{j + l - 2}) </tex> и существуют ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+1}</tex>). Тогда длина цикла равна <tex> len(см(v_{k}, v_{k - 1}, v_{k - l + 1})) - 1 + 2 = k - (k - l + 1) - 1 + 2 = l - 1 - 1 + 2 = l </tex>. рисунок слеваЗначит в <tex> G </tex> может входить максимум одно ребро из таких пар. Тогда можно утверждать, что <tex> deg(v_j)+ deg(v_{j + 1}) \leqslant n </tex>.

Для {{Лемма|statement=Если для графа <tex> G </tex> выполнены условия из теоремы и в нем отсутствует цикл длины <tex> l </tex>, <tex> 3 \leqslant l \leqslant n-1 </tex>, то количество вершин в графе четное|proof= Доказательство будем вести методом от противного.*Пусть <tex> n </tex> является нечетным, тогда из рассуждений выше существует вершина <tex>kv_x </tex> таких, для которое верно, что <tex> v_k deg(v_x) \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{n-1}{2} </tex> лежит на дуге . **Пусть это не так, тогда <tex> \forall i, 1 \leqslant i \leqslant n : deg(v_v_i) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n-1}{2} + 1 = \genfrac{}{}{}{0}{j n+ 1}{2}</tex>, значит <tex> \forall j, 1 \leqslant j \leqslant n : deg(v_j) + deg(v_{j + 31}) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n+1}{2} + \genfrac{}{}{}{0}{n+1}{2}= n + 1 </tex>, то есть мы получили противоречие с тем, что <tex> deg(v_j) + deg(v_{j + l - 21}) \leqslant n </tex> рассмотрим пары (.*Без потери общности пусть <tex>v_j, v_kv_x = v_n </tex>) и (. Рассмотрим <tex>2|E| = \sum\limits_{i=1}^n deg(v_i) = \sum\limits_{i=1}^{\genfrac{}{}{}{}{n - 1}{2}} (deg(v_{j+2i-1}, ) + deg(v_{k2i})) + deg(v_n) \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{n(n-l1)}{2} +</tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{n-1}{2} < \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{2}</tex>) (см, то есть <tex> |E| < \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex>, но по условию <tex> |E| \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex> {{---}} получили противоречие. рисунок справа)}}

При добавлении таких пар ребер в графе появляется цикл длины По лемме <tex> l n </tex>является четным, а значить если в цикле отсутствует цикл длины <tex> G l </tex> может входить максимум одно ребро из таких пар. Тогда можно утверждатьверно, что <tex> 2|E| = \sum\limits_{i=1}^n deg(v_jv_i) = \sum\limits_{i=1}^{\genfrac{}{}{}{}{n}{2}} (deg(v_{2i-1}) + deg(v_{j + 12i})) \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{2} </tex>, а так как по условию <tex> |E| \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex>, то <tex> |E| = \genfrac{}{}{}{0}{n ^2}{4} </tex>.Данное равенство достигается, если верно, что:

Докажем методом от противного, что <tex> n </tex> {{---}} четно. Пусть <tex> n </tex> является нечетным, тогда из рассуждений выше существует вершина <tex> v_x </tex>, для которое верно, что <tex> deg(v_x) \leqslant \genfrac{}{}{}{}{n-1}{2} </tex>. Пусть это не так, тогда <tex> \forall i, 1 \leqslant i \leqslant n : deg(i) \geqslant \genfrac{}{}{}{}{n-1}{2} + 1 = \genfrac{}{}{}{}{n+1}{2} </tex>, значит <tex> \forall j, 1 \leqslant j \leqslant n [[Файл: deg(v_j) + deg(v_{j+1}) \geqslant \genfrac{}{}{}{}{n+1}{2} + \genfrac{}{}{}{}{n+1}{2} = n + 1 </tex>, то есть мы получили противоречие с тем, что <tex> deg(v_j) + deg(v_{j + 1}) \leqslant n </tex>Circle 3.Без потери общности пусть <tex> v_x = v_n </tex> Рассмотрим <tex> 2jpg|E800px| = \sum\limits_{i=1}^n deg(v_i) = \sum\limits_{i=1}^{(n - 1)/2} (deg(v_{2i-1}) + deg(v_{2i})) + deg(v_n) \leqslant \genfrac{}{}{}{}{n(n-1)}{2} + \genfrac{}{}{}{}{n-1}{2} < </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{}{n^2}{2} </tex>, то есть <tex> right|Ethumb| < \genfrac{}{}{}{}{n^2}{4} </tex>, но по условию <tex> |E| \geqslant n^2/4 </tex> {{--Слева направо изображены случаи 1-}} получили противоречие3. Таким образом <tex> n </tex> является четным. Тогда верноКрасным выделены ребра, что <tex> 2|E| \leqslant \sum\limits_{i=1}^n deg(v_i) = \sum\limits_{i=1}^{n/2} (deg(v_{2i-1}) + deg(v_{2i})) \leqslant \genfrac{}{}{}{}{n^2}{2} </tex>, а так как по условию <tex> |E| \geqslant n^2/4 </tex>, то <tex> |E| = \genfrac{}{}{}{}{n^2}{4} </tex>. Данное равенство достигаетсякоторые не могут быть в рассматриваемом графе, если вернов нем присутствуют ребра, что:выделенные зеленым]]

[[Файл:Circle 3.jpg|800px|right]]*<tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + l - 1 \leqslant k \leqslant }, v_{j + l }, v_{j - 2 1}) </tex> : <tex> (v_j, v_k) \in E </tex> и <tex>(v_{j+1}, v_{k-l+3}) \notin E </tex> или <tex> (v_j, v_k) \notin E </tex> и <tex>(v_{j+1}, v_{k-l+3}) \in E </tex>

*<tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2 \leqslant k \leqslant }, v_{j + 3}, v_{j + l - 2 }) </tex> : <tex>(v_j, v_k) \in E </tex> и <tex>(v_{j+1}, v_{k-l+1}) \notin E </tex> или <tex>(v_j, v_k) \notin E </tex> и <tex>(v_{j+1}, v_{k-l+1}) \in E </tex>

Пусть <tex> G </tex> не <tex> K_{\genfrac{}{}{}{}{n/}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n/}{2}} </tex>, тогда существует такое четное число <tex> k </tex>, что в графе <tex> G </tex> существует ребро <tex> (v_j, v_{j+k}) </tex>, то есть существует цикл нечетной длины. Докажем, что в таком случае существует ребро <tex> (v_j, v_{j+2}) \in E </tex>. Пусть это не так и минимальное четное <tex> k </tex>, что <tex> \exists (v_j, v_{j+k}) \in E </tex> больше двух, т.е. то есть <tex> k \geqslant 4 </tex>. Тогда существует три случая:

# <tex> 2n - 2l + 2 \leqslant k \leqslant n - 2 </tex> <br> <tex> (v_j, v_{j+k}) \in E \Rightarrow (v_{j-1}, v_{j+k+l-1}) \notin E \Rightarrow (v_{j-2}, v_{j+k+2l-2}) \in E </tex> <br> однако <tex> k + 2l - 2n \leqslant k - 2 </tex> {{---}} снова проиворечие противоречие с минимальностью выбранного k

|statement = Пусть <tex>G(V, E), |V| = n , |E| = m, \forall (u, v) \notin E : deg(u) + deg(v) \geqslant n </tex>

#<tex> G </tex> = <tex>K_{\genfrac{}{}{}{}{n / }{2}, \genfrac{}{}{}{}{n / }{2}}</tex>|proof=По [[Теорема Оре|теореме Оре]] <tex> G </tex> {{---}} гамильтонов граф. Покажем, что <tex> m \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2/}{4 } </tex>. Пусть <tex> k </tex> {{---}} минимальная степень вершины в графе. # <tex> k \geqslant \genfrac{}{}{}{}{n/}{2 } </tex>, тогда <tex> 2m = \sum\limits_{i=1}^n deg(v_i) >= \sum\limits_{i=1}^n k = k n \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2/}{2 } </tex> # <tex> k < \genfrac{}{}{}{}{n/}{2 } </tex>. Пусть существует <tex> x </tex> вершин, так что их степени равны <tex> k </tex>, тогда они все должна должны быть связаны, так как иначе мы получим противоречие с утверждением теоремы <tex> \forall (u, v) \notin E : deg(u) + deg(v) \geqslant n </tex>. Понятно, что <tex> x \leqslant k + 1 </tex>, но так как граф является гамильтоновым, то он связен, а значит <tex> x < k + 1 </tex>. А также есть Несложно заметить, что если из всех <tex> x </tex> вершин степени <tex> k </tex> провести оставшиеся ребра в одну вершину, у которой степень больше, то в графе остенется как минимум <tex> n - k - 1 </tex> вершин, степени которых как минимум <tex> n - k </tex>, поскольку должно выполняться неравенство из теоермы. Тогда можно оценить количество ребер. <br> <tex> m \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}((n-k-1)(n-k)+k^2+(k+1)) = \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}(n^2 - n(2k + 1) + 2k^2 + 2k + 1) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2+1}{4} </tex>

Итого Таким образом <tex> m \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex> и согласно теореме граф подходит под условия теоремылибо панциклический, либо <tex>K_{\genfrac{}{}{}{}{n}{2}, \genfrac{}{}{}{}{n}{2}}</tex>.