Изменения

Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов#cite_note-almost-0|почти связный]] граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечетную нечётную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество ребер рёбер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> реберно [[Основные определения теории графов|рёберно-простыми ]] путями.

'''Необходимость'''<br/>Докажем, что Рассмотрим граф <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> реберно-простыми цепями.<br/> Добавим в <tex>G</tex> <tex>N</tex> ребер <tex>uv</tex> таких, что <tex>uv</tex> &notin; <tex>G</tex> и степени вершин <tex>u</tex> и который содержит <tex>v2N</tex> нечетные. Тогда степени всех вершин станут четными, и в <tex>G</tex> появится Эйлеров цикл <tex>c</tex>имеющих нечётную степень. Удалим из <tex>c</tex> добавленные ребра.<br/>Тогда цикл <tex>c</tex> распадется на <tex>N</tex> путей, которым будут принадлежать все ребра <tex>G</tex>.<br clear="all"/> [[Файл:Make_edges_paths_2.png|200px|right|thumb|Пример графа для <tex>N = 3</tex>]] '''Достаточность'''<br/>Докажем, что <tex>G</tex> нельзя его можно покрыть менее, чем <tex>N</tex> ребернорёберно-простыми путями.<br/>Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей <tex>p_1, p_2, ... p_k, k < N</tex>, такой что он покрывает все ребра <tex>G</tex>.<br/>Пусть <tex>i-</tex>й путь из этого набора имеет вид <tex> w_i = u_{i_0}e_{i_1}u_{i_1}...u_{i_l}</tex>. Добавим в <tex>G</tex> все ребра вида <tex>u_{i_l}u_{{i+1}_0}</tex> и ребро <tex>u_{k_l}u_{1_0}</tex>. В новом графе появится Эйлеров цикл. Всего будет добавлено <tex>k</tex> ребер, которые изменят четность не более, чем <tex>2k</tex> вершин. Т.к. <tex>k < N</tex>, то в графе останутся вершины нечетной степени.<br/>Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше <tex>N</tex>, не существует.

* [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфовграфов]]

==ЛитератураИсточники информации==