Полнота относительно L-сведения. NL-полнота. P-полнота

В классах, являющихся подмножествами [math]\mathrm{P}[/math], не используют [math]\mathrm{\widetilde{P}}[/math]-сведение по Карпу, так как оно оказывается бесполезным. Для них применяется [math]\mathrm{\widetilde{L}}[/math]-сведение (с [math]O(\log n)[/math] дополнительной памяти).

Определение:

[math]\mathrm{A} \in \mathrm{P}[/math]-complete [math]\Leftrightarrow \mathrm{A} \in \mathrm{P}[/math] и [math]\forall \mathrm{B} \in \mathrm{P} [/math] верно, что [math]\mathrm{B} \leq_{\widetilde{L}} \mathrm{A}[/math].

Определение:

[math]\mathrm{A} \in \mathrm{NLC} \Leftrightarrow \mathrm{A} \in \mathrm{NL}[/math] и [math]\forall \mathrm{B} \in \mathrm{NL} [/math] верно, что [math]\mathrm{B} \leq_{\widetilde{L}} \mathrm{A}[/math].

Теорема:

[math]\mathrm{A} \leq_{\widetilde{L}} \mathrm{B}[/math] и [math]\mathrm{B} \in \mathrm{L} \Rightarrow \mathrm{A} \in \mathrm{L}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению [math]\mathrm{\widetilde{L}}[/math]-сводимости [math]\exists f \in \widetilde{L} : x \in \mathrm{A} \Leftrightarrow f(x) \in \mathrm{B}[/math]. Просто выполнить [math]f(x)[/math] и передать результат в качестве ввода МТ для [math]\mathrm{B}[/math] нельзя, так как для этого требуется [math]\Omega(n)[/math] дополнительной памяти. Поэтому будем хранить только позицию [math]i[/math] головки МТ для [math]\mathrm{B}[/math] на входной ленте (в двоичной записи это требует [math]O(\log n)[/math] памяти), и вычислять [math]i[/math]-ый бит [math]f(x)[/math] при необходимости обращения к нему путём исполнения [math]f(x)[/math] без записи результата целиком. Таким образом построим МТ для [math]\mathrm{A}[/math], удовлетворяющую определению.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Задача [math]\mathrm{CONN} = \{\langle G, s, t \rangle \bigm|[/math] в графе G есть путь из s в t[math]\}[/math] — задача существования пути между двумя заданными вершинами в данном графе.

Теорема:

Задача существования пути между двумя заданными вершинами в данном графе NL-полна относительно [math]\mathrm{\widetilde{L}}[/math]-сведения.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что [math]\mathrm{CONN} \in \mathrm{NL}[/math]. Для доказательства необходимо предъявить алгоритм для недетерминированной машины Тьюринга, который использует [math] O(1) [/math] переменных, каждая из которых занимает [math] O(\log n) [/math] памяти, где [math] n [/math] — размер входа, и за время порядка [math] O(poly(n)) [/math] решает эту задачу. Алгоритм: Начиная с вершины [math] s [/math] недетерминированно переходим в одну из вершин, смежных с ней. (Очевидно, для этого необходимо [math] O(1) [/math] переменных). Проверяем, правда ли, что текущая вершина совпадает с [math] t [/math]. Если это так, возвращаем TRUE. Отдельно считаем количество пройденных вершин. Как только это число превысило количество вершин в графе, возвращаем FALSE, так как посетили некоторую вершину дважды. Таким образом в каждый момент алгоритму достаточно хранить текущую вершину, количество посещенных вершин, финальную вершину [math] t [/math] и некоторое число вспомогательных переменных для совершения переходов. Все эти переменные принимают значения не более, чем максимальный номер вершины, то есть как раз занимают [math] O(\log n) [/math] памяти. Теперь докажем, что любая задача из класса [math]\mathrm{NL}[/math] сводится к задаче [math]\mathrm{CONN}[/math] с использованием не более чем логарифмической памяти. Необходимо по данной задаче из [math]\mathrm{NL}[/math] построить тройку [math] \langle G, s, t \rangle [/math], решение задачи [math]\mathrm{CONN}[/math] для которой будет эквивалентно решению данной задачи. Любая машина Тьюринга, которая принимает некоторый язык [math]L[/math] из [math]\mathrm{NL}[/math], использует не более чем логарифмическое количество ячеек на рабочей ленте, и таким образом возможных мгновенных описаний этой машины Тьюринга [math] O(poly(n)) [/math]. Каждому возможному мгновенному описанию машины Тьюринга будет соответствовать некоторая вершина в [math] G [/math], а каждому переходу из этого описания в другое (которых в недетерминированной машине Тьюринга конечное число) — ребро в графе [math] G [/math]. За вершину [math] s [/math] принимается вершина, соответствующая начальному состоянию машины, а из каждой вершины, соответствующей некоторому допускающему состоянию, добавляется переход в выделенную вершину [math] t [/math]. Очевидно, что для любого слова из языка [math]L[/math], то есть принимаемого данной машиной Тьюринга, будет существовать путь из [math] s [/math] в [math] t [/math] в построенном графе [math] G [/math]. А если для некоторого слова не из [math]L[/math] в [math] G [/math] существует путь из [math] s [/math] в [math] t [/math], то он соответствует некоторой корректной последовательности переходов в изначальной машине, таким образом слово должно было приниматься этой недетерминированной машиной. Такое построение графа [math] G [/math] по данной машине Тьюринга можно выполнить с использованием [math] O(1) [/math] переменных, которые будут перебирать всевозможные мгновенные состояния машины (их [math] O(poly(n)) [/math], потому переменная, перебирающая его занимает [math] O(\log n) [/math] памяти), переходов из него и проверки возможности перехода.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\mathrm{NL} \subseteq \mathrm{P}[/math] (следствие из предыдущей теоремы).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Необходимо доказать, что [math]\forall \mathrm{B} \in \mathrm{NL}[/math] верно, что [math]\mathrm{B} \in \mathrm{P}[/math]. По определению [math]\mathrm{A} \in \mathrm{NLC} \Leftrightarrow \mathrm{A} \in \mathrm{NL} [/math] и [math]\forall \mathrm{B} \in \mathrm{NL} [/math] верно, что [math]\mathrm{B} \leq_{\widetilde{L}} \mathrm{A}[/math]. Следовательно, если [math]\exists \mathrm{A} \in \mathrm{NLC} : \mathrm{A} \in \mathrm{P}[/math], то [math]\forall \mathrm{B}[/math], сводимого к [math]\mathrm{A}[/math] верно, что [math]\mathrm{B} \leq_{\widetilde{P}} \mathrm{A}[/math], следовательно, поскольку класс [math]\mathrm{P}[/math] замкнут относительно [math]\widetilde{\mathrm{P}}[/math]-сведения по Карпу, [math]\mathrm{B} \in \mathrm{P}[/math]. Таким образом, если существует язык, принадлежащий [math]\mathrm{NLC}[/math] и [math]\mathrm{P}[/math], то теорема доказана. Как было показано выше, [math]\mathrm{CONN} \in \mathrm{NLC}[/math]. [math]\mathrm{CONN} \in \mathrm{P}[/math], что очевидно следует из существования алгоритма DFS.

[math]\triangleleft[/math]