Редактирование: Полнота относительно L-сведения. NL-полнота. P-полнота

В классах, являющихся подмножествами <tex>\mathrm{P}</tex>, не используют <tex>\mathrm{\widetilde{P}}</tex>-сведение по Карпу, так как оно оказывается бесполезным. Для них применяется <tex>\mathrm{\widetilde{L}}</tex>-сведение (с <tex>O(\log n)</tex> дополнительной памяти). 

{{ Определение
|definition=<tex>\mathrm{A} \in \mathrm{P}</tex>-complete <tex>\Leftrightarrow \mathrm{A} \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\forall \mathrm{B} \in \mathrm{P} </tex> верно, что <tex>\mathrm{B} \leq_{\widetilde{L}} \mathrm{A}</tex>.
}}

{{ Определение
|definition=<tex>\mathrm{A} \in \mathrm{NLC} \Leftrightarrow \mathrm{A} \in \mathrm{NL}</tex> и <tex>\forall \mathrm{B} \in \mathrm{NL} </tex> верно, что <tex>\mathrm{B} \leq_{\widetilde{L}} \mathrm{A}</tex>.
}}

{{ Определение
|definition=Задача <tex>\mathrm{CONN} = \{\langle G, s, t \rangle \bigm|</tex> в графе G есть путь из s в t<tex>\}</tex> {{---}} задача существования пути между двумя заданными вершинами в данном графе.
}}

{{ Теорема
| statement = <tex>\mathrm{A} \leq_{\widetilde{L}} \mathrm{B}</tex> и <tex>\mathrm{B} \in \mathrm{L} \Rightarrow \mathrm{A} \in \mathrm{L}</tex>.
| proof = По определению <tex>\mathrm{\widetilde{L}}</tex>-сводимости <tex>\exists f \in \widetilde{L} : x \in \mathrm{A} \Leftrightarrow f(x) \in \mathrm{B}</tex>. Просто выполнить <tex>f(x)</tex> и передать результат в качестве ввода МТ для <tex>\mathrm{B}</tex> нельзя, так как для этого требуется <tex>\Omega(n)</tex> дополнительной памяти. Поэтому будем хранить только позицию  <tex>i</tex> головки МТ для  <tex>\mathrm{B}</tex> на входной ленте (в двоичной записи это требует <tex>O(\log n)</tex> памяти), и вычислять <tex>i</tex>-ый бит  <tex>f(x)</tex> при необходимости обращения к нему путём исполнения  <tex>f(x)</tex> без записи результата целиком. Таким образом построим МТ для <tex>\mathrm{A}</tex>, удовлетворяющую определению.
}}

{{ Теорема
| statement = Задача существования пути между двумя заданными вершинами в данном графе NL-[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи|полна относительно <tex>\mathrm{\widetilde{L}}</tex>-сведения]].
| proof = 
Докажем, что <tex>\mathrm{CONN} \in \mathrm{NL}</tex>.
Для доказательства необходимо предъявить алгоритм для недетерминированной машины Тьюринга, который использует <tex> O(1) </tex> переменных, каждая из которых занимает <tex> O(\log n) </tex> памяти, где <tex> n </tex> — размер входа, и за время порядка <tex> O(poly(n)) </tex> решает эту задачу.

Алгоритм:

#Начиная с вершины <tex> s </tex> недетерминированно переходим в одну из вершин, смежных с ней. (Очевидно, для этого необходимо <tex> O(1) </tex> переменных).
#Проверяем, правда ли, что текущая вершина совпадает с <tex> t </tex>. Если это так, возвращаем TRUE.
#Отдельно считаем количество пройденных вершин. Как только это число превысило количество вершин в графе, возвращаем FALSE, так как посетили некоторую вершину дважды.

Таким образом в каждый момент алгоритму достаточно хранить текущую вершину, количество посещенных вершин, финальную вершину <tex> t </tex> и некоторое число вспомогательных переменных для совершения переходов. Все эти переменные принимают значения не более, чем максимальный номер вершины, то есть как раз занимают <tex> O(\log n) </tex> памяти.

Теперь докажем, что любая задача из класса <tex>\mathrm{NL}</tex> сводится к задаче <tex>\mathrm{CONN}</tex> с использованием не более чем логарифмической памяти.

Необходимо по данной задаче из <tex>\mathrm{NL}</tex> построить тройку <tex> \langle G, s, t \rangle </tex>, решение задачи <tex>\mathrm{CONN}</tex> для которой будет эквивалентно решению данной задачи.

Любая машина Тьюринга, которая принимает некоторый язык <tex>L</tex> из <tex>\mathrm{NL}</tex>, использует не более чем логарифмическое количество ячеек на рабочей ленте, и таким образом возможных мгновенных описаний этой машины Тьюринга <tex> O(poly(n)) </tex>. Каждому возможному мгновенному описанию машины Тьюринга будет соответствовать некоторая вершина в <tex> G </tex>, а каждому переходу из этого описания в другое (которых в недетерминированной машине Тьюринга конечное число) {{---}} ребро в графе <tex> G </tex>. За вершину <tex> s </tex> принимается вершина, соответствующая начальному состоянию машины, а из каждой вершины, соответствующей некоторому допускающему состоянию, добавляется переход в выделенную вершину <tex> t </tex>.

Очевидно, что для любого слова из языка <tex>L</tex>, то есть принимаемого данной машиной Тьюринга, будет существовать путь из <tex> s </tex> в <tex> t </tex> в построенном графе <tex> G </tex>. А если для некоторого слова не из <tex>L</tex> в <tex> G </tex> существует путь из <tex> s </tex> в <tex> t </tex>, то он соответствует некоторой корректной последовательности переходов в изначальной машине, таким образом слово должно было приниматься этой недетерминированной машиной.

Такое построение графа <tex> G </tex> по данной машине Тьюринга можно выполнить с использованием <tex> O(1) </tex> переменных, которые будут перебирать всевозможные мгновенные состояния машины (их <tex> O(poly(n)) </tex>, потому переменная, перебирающая его занимает <tex> O(\log n) </tex> памяти), переходов из него и проверки возможности перехода.

}}

{{ Теорема
| statement = <tex>\mathrm{NL} \subseteq \mathrm{P}</tex> (следствие из предыдущей теоремы).
| proof = Необходимо доказать, что <tex>\forall \mathrm{B} \in \mathrm{NL}</tex> верно, что <tex>\mathrm{B} \in \mathrm{P}</tex>. 

По определению <tex>\mathrm{A} \in \mathrm{NLC} \Leftrightarrow \mathrm{A} \in \mathrm{NL} </tex> и <tex>\forall \mathrm{B} \in \mathrm{NL} </tex> верно, что <tex>\mathrm{B} \leq_{\widetilde{L}} \mathrm{A}</tex>. Следовательно, если <tex>\exists \mathrm{A} \in \mathrm{NLC} : \mathrm{A} \in \mathrm{P}</tex>, то <tex>\forall \mathrm{B}</tex>, сводимого к <tex>\mathrm{A}</tex> верно, что <tex>\mathrm{B} \leq_{\widetilde{P}} \mathrm{A}</tex>, следовательно, поскольку класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно <tex>\widetilde{\mathrm{P}}</tex>-сведения по Карпу, <tex>\mathrm{B} \in  \mathrm{P}</tex>. Таким образом, если существует язык, принадлежащий <tex>\mathrm{NLC}</tex> и <tex>\mathrm{P}</tex>, то теорема доказана. Как было показано выше, <tex>\mathrm{CONN} \in \mathrm{NLC}</tex>. <tex>\mathrm{CONN} \in \mathrm{P}</tex>, что очевидно следует из существования алгоритма DFS.
}}