Представление производящей функций в виде непрерывных дробей — различия между версиями
(sta) |
|||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition='''Конечная непрерывная дробь''' (англ. ''finite continued fraction'') — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> и <tex>\langle b_0, b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.</tex>}} | |definition='''Конечная непрерывная дробь''' (англ. ''finite continued fraction'') — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> и <tex>\langle b_0, b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.</tex>}} | ||
| + | |||
| + | {{Утверждение | ||
| + | |statement= | ||
Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\cfrac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''. | Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\cfrac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''. | ||
| + | }} | ||
==Свойства== | ==Свойства== | ||
| − | Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь | + | Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь<ref>{{Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2) М. Гостехиздат 1956}}</ref>: |
<br><tex>\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;</tex><br> | <br><tex>\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;</tex><br> | ||
Например для функции <tex>f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}</tex>:<br> | Например для функции <tex>f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}</tex>:<br> | ||
<tex>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</tex> | <tex>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</tex> | ||
| − | + | {{Теорема | |
| + | |about= Разложение рациональной функции | ||
| + | |statement=Любая рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь.}} | ||
| + | |||
| + | Следовательно [[Теорема_о_связи_между_рациональностью_производящей_функции_и_линейной_рекуррентностью_задаваемой_ей_последовательности| дробно-рациональная производящая функция]] всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь. | ||
==Функция Каталана в виде непрерывной дроби== | ==Функция Каталана в виде непрерывной дроби== | ||
| + | //из пдфки | ||
| + | |||
| + | ==См. также== | ||
| + | * [[Производящая функция]] | ||
| + | * [[Арифметические действия с формальными степенными рядами]] | ||
| + | |||
| + | ==Примечания== | ||
| + | |||
| + | <references /> | ||
| + | |||
| + | == Источники информации == | ||
| + | * [https://www.mccme.ru/free-books/lando/lando-genfunc.pdf Лекции о производящих функциях] | ||
| + | * [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D1%8C Непрерывная дробь] | ||
| + | |||
| + | [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] | ||
| + | [[Категория: Производящая функция]] | ||
Версия 02:16, 18 апреля 2018
Содержание
Определения
| Определение: |
| Непрерывная дробь (англ. continued fraction) — это бесконечное математическое выражение вида
где и есть целые числа, а — натуральные числа (положительные целые). |
| Определение: |
| Конечная непрерывная дробь (англ. finite continued fraction) — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора и |
| Утверждение: |
Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби , которую называют n-ой подходящей дробью. |
Свойства
Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь[1]:
Например для функции :
| Теорема (Разложение рациональной функции): |
Любая рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь. |
Следовательно дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.
Функция Каталана в виде непрерывной дроби
//из пдфки
