Изменения

|definition='''Непрерывная дробь''' (англ. ''continued fraction'') — это конечное или бесконечное математическое выражение вида<tex>a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}}= \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cfrac{b_2}{a_2},\cfrac{b_3}{a_3}, \cdots \biggr]\;</tex>

|definition='''Конечная непрерывная дробь''' (англ. ''finite continued fraction'') — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора конечных наборов <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> и <tex>\langle b_0, b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.</tex>}}Любая конечная {{Определение |definition='''K-подходящей дробью''' (англ. ''k-suitable fraction'') непрерывной дроби <tex> \biggl[ a_0;\cfrac{b_k}{a_k} \biggr]^{n}_{1} </tex> называют обыкновенную дробь представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\cfrac{P_nP_k}{Q_k} \equiv \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cdots,\cfrac{b_k}{Q_na_k}\biggr] (k = 1,2\cdots)</tex>, которую называют '''где <tex>k \leqslant n</tex>, а <tex>P_i, Q_i</tex> - многочлены <tex>i</tex>-ой подходящей дробью'''степени}} ==Разложение дробно-рациональной производящей функции=={{Утверждение|statement=[[Теорема_о_связи_между_рациональностью_производящей_функции_и_линейной_рекуррентностью_задаваемой_ей_последовательности| Дробно-рациональная производящая функция]] всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.|proof = Если у нас есть дробно-рациональная производящая функция <tex>\; f(x) = \cfrac{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}{c_{0,0}+c_{0,1}x+c_{0,2}x^2+\cdots},</tex> то в общем случае: <tex>\; f(x) = \cfrac{1}{\cfrac{c_{0,0}}{c_{1,0}}+\cfrac{c_{0,0}+c_{0,1}x+c_{0,2}x^2+\cdots}{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}-\cfrac{c_{0,0}}{c_{1,0}}} = \cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}+xf_1(x)},</tex>  где <tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{2,0}+c_{2,1}x+c_{2,2}x^2+\cdots}{c_{1,0}+c_{1,1}x+c_{1,2}x^2+\cdots}</tex> и <tex>\; c_{2,k} = c_{1,0} \cdot c_{0,k+1} - c_{0,0} \cdot c_{1,k+1} \; (k=0,1, \cdots).</tex> Аналогично <tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{2,0}}{c_{1,0}+xf_2(x)},</tex> где <tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{3,0}+c_{3,1}x+c_{3,2}x^2+\cdots}{c_{2,0}+c_{2,1}x+c_{2,2}x^2+\cdots}</tex>

<tex>\; c_{3,k} = c_{2,0} \cdot c_{1,k+1} - c_{1,0} \cdot c_{2,k+1} \; (k=0,1, \cdots)</tex> и так далее. Таким Образом <tex>\; f(x) = \cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}+\cfrac{c_{2,0}x}{c_{1,0}+\cfrac{c_{3,0}}{c_{2,0}+\ldots}}} = \biggl[ 0;\cfrac{c_{1,0}}{c_{0,0}},\cfrac{c_{2,0}x}{c_{1,0}},\cfrac{c_{3,0}x}{c_{2,0}}, \cdots , \cfrac{c_{n,0}x}{c_{n-1,0}} \biggr], </tex> При чем рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь. Следовательно дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную легко убедиться, что непрерывная дробьполучится конечной.}}