Разложение на множители (факторизация) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Перебор делителей)
 
(не показаны 44 промежуточные версии 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Перебор делителей''' — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
+
{{Определение | definition=
 +
'''Факторизация''' (англ. ''factorization'') — представление объекта в виде произведения других объектов.
 +
}}
 +
{{Определение | definition=
 +
'''Разложение на множители''', или '''Факторизация целых чисел''' (англ. ''integer factorization'') — представление числа в виде [[Натуральные числа#Основная теорема арифметики | произведения его множителей]].
 +
}}
 +
== Перебор делителей==
 +
{{Определение | definition=
 +
'''Перебор делителей''' (англ. ''Trial division'') — алгоритм для факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
 +
}}
 +
=== Наивная реализация O(n) ===
 +
[[Основная теорема арифметики#Основная теорема арифметики#Собственно теорема | Основная теорема арифметики]], вкупе с утверждением, что  <tex>y</tex> не делит <tex>x</tex> нацело: <tex>\forall x, y \in \mathbb{N}~~x<y \Longrightarrow</tex> <tex>\left( \dfrac{x}{y} < 1 \right)</tex>, позволяют нам ограничить пространство поиска делителей числа <tex>number</tex> интервалом <tex>[2;number]</tex>.
 +
==== Основная идея ====
 +
Заметим, что если <tex>number</tex> = <tex>\prod p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_j \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>, то <tex>\left(\dfrac{number}{p_j}\right) = \prod\limits_{i \ne j} p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>. Таким образом, мы можем делить <tex>number</tex> на его делители (множители)  последовательно и в любом порядке. Тогда будем хранить <tex>curNum \colon curNum = \dfrac{number}{\prod result_i}</tex> — произведение оставшихся множителей.
  
==Проверка числа на простоту за <tex>O(\sqrt{n})</tex>==
+
==== Псевдокод нахождения простых множителей ====
 +
Так как простых множителей не может быть больше, чем <tex>n</tex>, а в худшем случае (когда число простое, и на каждое итерации <tex>probe</tex> увеличивается на <tex>1</tex>) он работает за <tex>O(n)</tex>, то, следовательно, алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>.
  
Обычно перебор делителей заключается в переборе всех целых (как вариант: простых) чисел от 2 до квадратного корня из факторизуемого числа ''n'' и в вычислении остатка от деления ''n'' на каждое из этих чисел. Если остаток от деления на некоторое число ''m'' равен нулю, то ''m'' является делителем ''n''. В этом случае либо ''n'' объявляется составным, и алгоритм заканчивает работу.
+
  '''function''' getMultipliers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
 +
      <font color=green>// сюда складываем множители</font>
 +
      result = '''vector<int>'''
 +
      <font color=green>// число, у которого осталось найти множители</font>
 +
      curNum = number
 +
        <font color=green>// число, на которое пытаемся делить</font>
 +
      probe = 2
 +
      '''while''' curNum <tex>\ne</tex> 1
 +
          '''if''' curNum '''mod''' probe <tex>\ne\, </tex>0
 +
              <font color=green>// проверены все множители из [2; probe]</font>
 +
              probe++
 +
          '''else'''
 +
              <font color=green>// делим пока делится</font>
 +
              curNum /= probe
 +
              result += [probe]
 +
        '''return''' result
  
Таким образом, осуществляя проверку на делимость за <tex>O(n)</tex> и перебирая не более <tex>\sqrt{n}</tex> чисел, получаем максимальную оценку времени работы алгоритма: <tex>O(\sqrt{n})</tex>.
+
==== Псевдокод нахождения делителей ====
  
==Разложение на множители за <tex>O(\sqrt{n})</tex>==
+
    '''function''' getDividers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
 +
        <font color=green>// массив полученных делителей</font>
 +
        result = '''vector<int>'''
 +
        <font color=green>// перебираем все потенциальные делители</font>
 +
        '''for''' probe = 2 '''to''' number
 +
            '''if''' number '''mod''' probe = 0
 +
                <font color=green>// probe делит number нацело</font>
 +
                result += [probe]
 +
        '''return''' result
  
Для поиска разложения числа на множители воспользуемся так же простым перебором чисел от <tex>1</tex> до <tex>\sqrt{n}</tex>. С помощью алгоритма проверки простоты найдём первый делитель числа <tex>n</tex> - <tex>m</tex>. Далее <tex>n</tex> сокращается в <tex>m</tex> раз и процедура повторяется. По достижении квадратного корня из <tex>n</tex> и невозможности сократить <tex>n</tex> ни на одно из меньших чисел, <tex>n</tex> объявляется неразложимым.
+
=== Улучшенная реализация <tex>O(\sqrt{n})</tex> ===
 +
==== Основная идея ====
 +
Из определения: <tex>\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = n</tex>. Логично, что:
 +
{|
 +
|-align="center"
 +
|rowspan="2"| <tex>\bigg\{</tex>
 +
|<tex>x \cdot y = number</tex>
 +
|rowspan="2"| <tex>\Longrightarrow x > \sqrt{number}</tex>
 +
|-align="center"
 +
|<tex>y < \sqrt{number}</tex>
 +
|}
 +
Таким образом, любой делитель <tex>d_0 > \sqrt{number}</tex> однозначно связан с некоторым <tex>d_1 < \sqrt{number}</tex>. Если мы найдем все делители до <tex>\sqrt{number}</tex>, задача может считаться решенной.
 +
==== Псевдокод ====
 +
 
 +
    '''function''' getDividers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
 +
        result = '''vector<int>'''
 +
        '''for''' probe = 2 '''to''' <tex>\sqrt{number}</tex> <font color=green>//обновляем верхнюю границу перебора</font>
 +
            '''if''' number '''mod''' probe = 0
 +
                result += [probe]
 +
                result += [number / probe] <font color=green>// записываем сопряженный делитель</font>
 +
        '''return''' result
 +
 
 +
=== Проверка числа на простоту ===
 +
Алгоритм можно переделать для нахождения простых чисел. Число будет простым, если у него не окажется множителей (и делителей) кроме <tex>1</tex> (алгоритмы не проверяют делимость на <tex>1</tex>) и самого числа (улучшенная реализация опускает этот делитель).
 +
 
 +
== Предподсчет ==
 +
{{main|Решето Эратосфена}}
 +
=== Основная идея ===
 +
Решето Эратосфена (англ. ''Sieve of Eratosthenes'') позволяет не только находить простые числа, но и находить простые множители числа. Для этого необходимо хранить (помимо самого "решета") массив простых чисел, на которое каждое число делится (достаточно одного простого делителя).
 +
=== Псевдокод ===
 +
 
 +
    <font color=green>// возвращает только дополнительный массив</font>
 +
    '''function''' sieveOfEratosthenes(n: '''int'''): '''int'''[n + 1]
 +
        result = [n + 1]
 +
        result[n] = n
 +
        <font color=green>// выбираем следующий простой делитель</font>
 +
        '''for''' i  = 2 '''to''' <tex>\sqrt{n}</tex>
 +
            '''if''' result[i] = 0
 +
                <font color=green>// записываем делитель в элементы массива,
 +
                // соответствующие числа которых делятся нацело</font>
 +
                shuttle = <tex>i^2</tex>
 +
                '''while''' shuttle <tex>\leqslant</tex> n
 +
                    result[shuttle] = i
 +
                    shuttle += i
 +
        '''return''' result
 +
 
 +
    '''function''' getMultipliers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
 +
        result = '''vector<int>'''
 +
        <font color=green>// получаем дополненное решето Эратосфена</font>
 +
        sieve = sieveOfEratosthenes(number)
 +
        <font color=green>// следующее временное значение получаем
 +
        // делением предыдущего на простой делитель из решета</font>
 +
        curNum = number
 +
        '''while''' curNum <tex>\ne</tex> 1
 +
            result += sieve[curNum]
 +
            curNum /= sieve[curNum]
 +
        '''return''' result
 +
 
 +
== См. также ==
 +
*[[Решето Эратосфена]]
 +
*[[Основная теорема арифметики]]
 +
*[[Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных#Комбинаторика | Комбинаторика]]
 +
 
 +
== Источники информации ==
 +
* Маврин П.Ю. — Лекция по алгоритмам над простыми числами (2016)
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число]
 +
 
 +
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
 +
[[Категория: Теория чисел]]

Текущая версия на 09:02, 10 июня 2021

Определение:
Факторизация (англ. factorization) — представление объекта в виде произведения других объектов.


Определение:
Разложение на множители, или Факторизация целых чисел (англ. integer factorization) — представление числа в виде произведения его множителей.

Перебор делителей[править]

Определение:
Перебор делителей (англ. Trial division) — алгоритм для факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.

Наивная реализация O(n)[править]

Основная теорема арифметики, вкупе с утверждением, что [math]y[/math] не делит [math]x[/math] нацело: [math]\forall x, y \in \mathbb{N}~~x\lt y \Longrightarrow[/math] [math]\left( \dfrac{x}{y} \lt 1 \right)[/math], позволяют нам ограничить пространство поиска делителей числа [math]number[/math] интервалом [math][2;number][/math].

Основная идея[править]

Заметим, что если [math]number[/math] = [math]\prod p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_j \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n[/math], то [math]\left(\dfrac{number}{p_j}\right) = \prod\limits_{i \ne j} p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n[/math]. Таким образом, мы можем делить [math]number[/math] на его делители (множители) последовательно и в любом порядке. Тогда будем хранить [math]curNum \colon curNum = \dfrac{number}{\prod result_i}[/math] — произведение оставшихся множителей.

Псевдокод нахождения простых множителей[править]

Так как простых множителей не может быть больше, чем [math]n[/math], а в худшем случае (когда число простое, и на каждое итерации [math]probe[/math] увеличивается на [math]1[/math]) он работает за [math]O(n)[/math], то, следовательно, алгоритм работает за [math]O(n)[/math].

  function getMultipliers(number: int): vector<int>
      // сюда складываем множители
      result = vector<int>
      // число, у которого осталось найти множители
      curNum = number
       // число, на которое пытаемся делить
      probe = 2
      while curNum [math]\ne[/math] 1
          if curNum mod probe [math]\ne\, [/math]0
              // проверены все множители из [2; probe]
              probe++
          else
              // делим пока делится
              curNum /= probe
              result += [probe]
       return result

Псевдокод нахождения делителей[править]

   function getDividers(number: int): vector<int>
       // массив полученных делителей
       result = vector<int> 
       // перебираем все потенциальные делители
       for probe = 2 to number
           if number mod probe = 0
               // probe делит number нацело
               result += [probe]
       return result

Улучшенная реализация [math]O(\sqrt{n})[/math][править]

Основная идея[править]

Из определения: [math]\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = n[/math]. Логично, что:

[math]\bigg\{[/math] [math]x \cdot y = number[/math] [math]\Longrightarrow x \gt \sqrt{number}[/math]
[math]y \lt \sqrt{number}[/math]

Таким образом, любой делитель [math]d_0 \gt \sqrt{number}[/math] однозначно связан с некоторым [math]d_1 \lt \sqrt{number}[/math]. Если мы найдем все делители до [math]\sqrt{number}[/math], задача может считаться решенной.

Псевдокод[править]

   function getDividers(number: int): vector<int>
        result = vector<int>
        for probe = 2 to [math]\sqrt{number}[/math] //обновляем верхнюю границу перебора
           if number mod probe = 0
               result += [probe]
               result += [number / probe] // записываем сопряженный делитель
       return result

Проверка числа на простоту[править]

Алгоритм можно переделать для нахождения простых чисел. Число будет простым, если у него не окажется множителей (и делителей) кроме [math]1[/math] (алгоритмы не проверяют делимость на [math]1[/math]) и самого числа (улучшенная реализация опускает этот делитель).

Предподсчет[править]

Основная статья: Решето Эратосфена

Основная идея[править]

Решето Эратосфена (англ. Sieve of Eratosthenes) позволяет не только находить простые числа, но и находить простые множители числа. Для этого необходимо хранить (помимо самого "решета") массив простых чисел, на которое каждое число делится (достаточно одного простого делителя).

Псевдокод[править]

   // возвращает только дополнительный массив
   function sieveOfEratosthenes(n: int): int[n + 1]
       result = [n + 1]
       result[n] = n
       // выбираем следующий простой делитель
       for i  = 2 to [math]\sqrt{n}[/math]
           if result[i] = 0
               // записываем делитель в элементы массива,
               // соответствующие числа которых делятся нацело
               shuttle = [math]i^2[/math]
               while shuttle [math]\leqslant[/math] n
                   result[shuttle] = i
                   shuttle += i
       return result
   function getMultipliers(number: int): vector<int>
       result = vector<int>
       // получаем дополненное решето Эратосфена
       sieve = sieveOfEratosthenes(number)
       // следующее временное значение получаем
       // делением предыдущего на простой делитель из решета
       curNum = number
       while curNum [math]\ne[/math] 1
           result += sieve[curNum]
           curNum /= sieve[curNum]
       return result

См. также[править]

Источники информации[править]