Изменения

{{Шаблон:Задача|definition == Постановка задачи LCA ==Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.}}

|id=lca_suf_tree|definition = '''Наименьшим общим предком ''' (англ. ''least common ancestor)''' ) двух узлов <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.

1) В каждом узле будет храниться глубина узла в корневом дереве Для каждой вершины <tex>T.</tex>определим глубину с помощью следующей рекурсивной формулы::<tex>\mathrm{depth}(u)= \begin{cases}0 & u = \mathrm{root}(T),\\\mathrm{depth}(v) + 1 & u = \mathrm{son}(v).

2) Запустим [[Обход в глубину, цвета вершинФайл:Полная персистентность.png‎ | мини | left | 500x300px|обход в глубинуПример массива <tex>\mathtt{vtx}</tex>]] из корня, который будет строить список посещений узлов. Глубина текущей вершины добавляется в список при входе в эту вершину, а также после каждого возвращения из её сына.<br clear="all">

Обозначим Будем считать, что <tex>I[u]\mathrm{rmq}(d,l,r)</tex> {{---}} функция, возвращающая любой возвращает индекс ячейки минимального элемента в списке глубин <tex>depthd</tex>, в котором хранится глубина узла на отрезке <tex>u[l..r]</tex>. Ее можно строить во время обхода в глубину.Пусть имеется Тогда ответом на запрос {{---}} пара узлов <tex>\mathrm{lca}(u, v.)</tex> В результате обхода в глубину получился список глубин вершин, в котором наименьшему общему предку вершин где <tex>\mathtt{I}[u, ] \leqslant \mathtt{I}[v]</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке , будет <tex>depth\mathtt{vtx}[\mathrm{rmq}(d,\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v])]</tex>. 

Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>depthd[\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v]]</tex>.

Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>depthd[\mathtt{I}[u]..\mathtt{I}[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex>(в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. ПокажемЗаметим, что его глубина минимальна в момент добавления <tex>\mathtt{I}[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>\mathtt{I}[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>depth[\mathtt{I}[u]..</tex> и <tex>\mathtt{I}[v]]</tex>. Допустим обратное. Все потомки мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex> имеют глубину больше. Но тогда получимОтсюда сделаем заключение, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex> раньше, чем посетил вершину т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>vw</tex>.}}.

Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину {{- --}} <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>

[[Файл:Lca to rmq.png(2).png|thumb|leftcenter|рис. 1400x200px|Рисунок к примеру]]

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Дерево отрезков. ПостроениеАлгоритм Фарака-Колтона и Бендера|дерево отрезковалгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Длина массива глубин будет равна для <tex>(2n - 1)\pm 1RMQ</tex>, т. ек. соседние элементы в списке глубин отличаются не более чем на единицу. дерево отрезков можно построить за Длина списка глубин составляет <tex>O(n2n - 1).</tex> Таким , таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n).</tex> . Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т. е. {{---}} <tex>O(\log n1).</tex>.

== Ссылки Источники информации ==