Сведение задачи LCA к задаче RMQ

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Задача:
Пусть дано корневое дерево [math]T[/math]. На вход подаются запросы вида [math](u,\;v)[/math], для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.


Определение:
Наименьшим общим предком (англ. least common ancestor) двух узлов [math]u[/math] и [math]v[/math] в корневом дереве [math]T[/math] называется узел [math]w[/math], который среди всех узлов, являющихся предками как узла [math]u[/math], так и [math]v[/math], имеет наибольшую глубину.


Алгоритм[править]

Идея[править]

Будем решать задачу [math]LCA[/math], уже умея решать задачу [math]RMQ[/math]. Тогда поиск наименьшего общего предка [math]i[/math]-того и [math]j[/math]-того элементов сводится к запросу минимума на отрезке массива, который будет введен позднее.

Препроцессинг[править]

Для каждой вершины [math]T[/math] определим глубину с помощью следующей рекурсивной формулы:

[math]\mathrm{depth}(u) = \begin{cases} 0 & u = \mathrm{root}(T),\\ \mathrm{depth}(v) + 1 & u = \mathrm{son}(v). \end{cases}[/math]

Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим обход в глубину из корня, который будет вычислять значения следующих величин:

  1. Cписок глубин посещенных вершин [math]d[/math]. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
  2. Список посещений узлов [math]\mathtt{vtx}[/math], строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
  3. Значение функции [math]\mathtt{I}[u][/math], возвращающей индекс в списке глубин [math]d[/math], по которому была записана глубина вершины [math]u[/math] (например на момент входа в вершину).

Вот таким образом будет выглядеть массив [math]\mathtt{vtx}[/math] после обхода в глубину:

Пример массива [math]\mathtt{vtx}[/math]


Запрос[править]

Будем считать, что [math]\mathrm{rmq}(d,l,r)[/math] возвращает индекс минимального элемента в [math]d[/math] на отрезке [math][l..r][/math]. Тогда ответом на запрос [math]\mathrm{lca}(u, v)[/math], где [math]\mathtt{I}[u] \leqslant \mathtt{I}[v][/math], будет [math]\mathtt{vtx}[\mathrm{rmq}(d,\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v])][/math].

Доказательство корректности алгоритма[править]

Теорема:
Наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]d[\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v]][/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим два узла [math]u, v[/math] корневого дерева [math]T[/math]. Рассмотрим отрезок [math]d[\mathtt{I}[u]..\mathtt{I}[v]][/math]. Поскольку этот отрезок — путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], он проходит через их наименьшего общего предка [math]w[/math] (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины [math]w[/math]. Заметим, что в момент добавления [math]\mathtt{I}[u][/math] обход посещал поддерево с корнем [math]w[/math]. В момент добавления [math]\mathtt{I}[v][/math] мы все еще в поддереве с корнем [math]w[/math]. Значит, и на отрезке между [math]\mathtt{I}[u][/math] и [math]\mathtt{I}[v][/math] мы находились внутри поддерева с корнем [math]w[/math]. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от [math]w[/math], с глубиной меньшей либо равной глубины [math]w[/math], т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем [math]w[/math].
[math]\triangleleft[/math]
.

Пример[править]

Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом. Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину — [math][0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].[/math] Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке [math][2, 1, 0, 1].[/math]

Рисунок к примеру

Сложность[править]

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать алгоритм Фарака-Колтона и Бендера для [math]\pm 1RMQ[/math], т. к. соседние элементы в списке глубин отличаются не более чем на единицу. Длина списка глубин составляет [math](2n - 1)[/math], таким образом, препроцессинг работает за [math]O(n)[/math]. Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке — [math]O(1)[/math].

См.также[править]

Источники информации[править]