403
правки
Изменения
прочитать, исправить
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
{{Определение
|definition=<tex>\Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}</tex>
}}
{{Определение
|definition=<tex>v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)</tex> {{---}} объём прямоугольника
}}
Выведем два основных свойства
==Свойство 1==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек, <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi</tex>(прямоугольник), то <tex>v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=Доказательство основано на следующем тождестве:
Если дано какое-то разбиение отрезка <tex>a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b</tex>, то
<tex>b - a = \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} (x_{k + 1} - x_k)</tex>
Далее доказательство полностью аналогично доказательству для многократного интеграла.
План:
#Доказать для разбиения на клетки
#Обобщить
#??????
#Доказательство!
}}
==Свойство 2==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек и <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi</tex>.
Тогда <tex>v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=Для доказательства заметим, что легко понять, что совокупность прямоугольников {{---}} полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо <tex>\sum\limits^\infty</tex> {{---}} <tex>\sum\limits^n</tex>
}}
==Свойство 3==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> {{---}} прямоугольники, <tex>\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j</tex>. Тогда <tex>v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^p\Pi_j</tex>
}}
==Ячейки==
Хотя совокупности прямоугольников {{---}} полукольцо, целесообразно его заузить, а именно:
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\bar a = (a_1, \ldots, a_n)</tex>, <tex>\bar b = (b_1, \ldots, b_n)</tex>. Тогда ячейка <tex>[a; b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Пересечение ячеек {{---}} ячейка
}}
{{Утверждение
|statement=Разность ячеек {{---}} объединение двух дизъюнктных ячеек
}}
{{Утверждение
|statement=Совокупность ячеек {{---}} тоже полукольцо
}}
Но их, так сказать, меньше, чем прямоугольников.
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal{R}</tex> {{---}} полукольцо ячеек
}}
{{Утверждение
|statement=<tex>v(\Pi)(<tex>\Pi</tex> {{---}} ячейка)</tex> {{---}} конечно-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>
}}
==Мера на множестве ячеек==
{{Теорема
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, является мерой на этом множестве.
|proof=Доказательство будет основано на том, что если в <tex>\mathbb{R}^n</tex> ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Это свойство компактности.
<tex>\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j</tex> {{---}} дизъюнктны. Нужно доказать, что <tex>v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)</tex>.
<tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j \subset \Pi \Rightarrow </tex> (по второму свойству <tex>v</tex>) <tex>\sum\limits_{j=1}^p v(\Pi_j) \leq v(\Pi)</tex>
Устремляя <tex>p\to\infty</tex>, получаем, что <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) \leq v(\Pi)</tex>
Осталось доказать противоположное неравенство.
<tex>v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)</tex>
Если на это величину смотреть как на функцию двух переменных, то она будет непрерывна как произведение непрерывных функций.
Значит, малое отклонение аргумента приведёт к малому изменению значения функции.
<tex>\Pi_j \subset \Pi_j^o</tex>(открытое). Погружаем <tex>\Pi_j</tex> в открытый прямоугольник <tex>\Pi_j^o</tex> таким образом, чтобы <tex>v(\Pi_j^o) < v(\Pi_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}</tex>. Это можно сделать по непрерывности <tex>v</tex>.
В результате получаем, что <tex>\Pi\subset\bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>
{{Определение
|definition=<tex>\Pi^c</tex> {{---}} замыкание ячейки <tex>\Pi^o</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Замыкание не изменяет объёма
}}
Однако, после замыкание множество становится компактом.
<tex>\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>
В силу свойства компактов из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие
<tex>\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o</tex>
По третьему свойству объёма, <tex>v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) < \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \frac\varepsilon{2^{j_k}}</tex><tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon</tex>.
Обратное неравнство установлено
}}
{{Определение
|definition=<tex>\Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}</tex>
}}
{{Определение
|definition=<tex>v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)</tex> {{---}} объём прямоугольника
}}
Выведем два основных свойства
==Свойство 1==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек, <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi</tex>(прямоугольник), то <tex>v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=Доказательство основано на следующем тождестве:
Если дано какое-то разбиение отрезка <tex>a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b</tex>, то
<tex>b - a = \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} (x_{k + 1} - x_k)</tex>
Далее доказательство полностью аналогично доказательству для многократного интеграла.
План:
#Доказать для разбиения на клетки
#Обобщить
#??????
#Доказательство!
}}
==Свойство 2==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек и <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi</tex>.
Тогда <tex>v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=Для доказательства заметим, что легко понять, что совокупность прямоугольников {{---}} полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо <tex>\sum\limits^\infty</tex> {{---}} <tex>\sum\limits^n</tex>
}}
==Свойство 3==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> {{---}} прямоугольники, <tex>\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j</tex>. Тогда <tex>v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^p\Pi_j</tex>
}}
==Ячейки==
Хотя совокупности прямоугольников {{---}} полукольцо, целесообразно его заузить, а именно:
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\bar a = (a_1, \ldots, a_n)</tex>, <tex>\bar b = (b_1, \ldots, b_n)</tex>. Тогда ячейка <tex>[a; b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Пересечение ячеек {{---}} ячейка
}}
{{Утверждение
|statement=Разность ячеек {{---}} объединение двух дизъюнктных ячеек
}}
{{Утверждение
|statement=Совокупность ячеек {{---}} тоже полукольцо
}}
Но их, так сказать, меньше, чем прямоугольников.
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal{R}</tex> {{---}} полукольцо ячеек
}}
{{Утверждение
|statement=<tex>v(\Pi)(<tex>\Pi</tex> {{---}} ячейка)</tex> {{---}} конечно-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>
}}
==Мера на множестве ячеек==
{{Теорема
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, является мерой на этом множестве.
|proof=Доказательство будет основано на том, что если в <tex>\mathbb{R}^n</tex> ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Это свойство компактности.
<tex>\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j</tex> {{---}} дизъюнктны. Нужно доказать, что <tex>v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)</tex>.
<tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j \subset \Pi \Rightarrow </tex> (по второму свойству <tex>v</tex>) <tex>\sum\limits_{j=1}^p v(\Pi_j) \leq v(\Pi)</tex>
Устремляя <tex>p\to\infty</tex>, получаем, что <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) \leq v(\Pi)</tex>
Осталось доказать противоположное неравенство.
<tex>v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)</tex>
Если на это величину смотреть как на функцию двух переменных, то она будет непрерывна как произведение непрерывных функций.
Значит, малое отклонение аргумента приведёт к малому изменению значения функции.
<tex>\Pi_j \subset \Pi_j^o</tex>(открытое). Погружаем <tex>\Pi_j</tex> в открытый прямоугольник <tex>\Pi_j^o</tex> таким образом, чтобы <tex>v(\Pi_j^o) < v(\Pi_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}</tex>. Это можно сделать по непрерывности <tex>v</tex>.
В результате получаем, что <tex>\Pi\subset\bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>
{{Определение
|definition=<tex>\Pi^c</tex> {{---}} замыкание ячейки <tex>\Pi^o</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Замыкание не изменяет объёма
}}
Однако, после замыкание множество становится компактом.
<tex>\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>
В силу свойства компактов из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие
<tex>\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o</tex>
По третьему свойству объёма, <tex>v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) < \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \frac\varepsilon{2^{j_k}}</tex><tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon</tex>.
Обратное неравнство установлено
}}
