'''Периоди́ческое состоя́ние''' — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу. == Период состояния == Пусть дана однородная [[Марковская цепь|цепь Маркова]] с дискретным временем <math>\{X_n\}_{n \ge 0}</math> с матрицей переходных вероятностей <math>P</math>. В частности, для любого <math>n \in \mathbb{N}</math>, матрица <math>P^n = \left(p_{ij}^{(n)} \right)</math> является матрицей переходных вероятностей за <math>n</math> шагов. Рассмотрим последовательность <math> p^{(n)}_{jj},\, n \in \mathbb{N}</math>. Число: <math>d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right)</math>,где <math>\gcd</math> обозначает наибольший общий делитель, называется '''пери́одом''' состояния <math>j</math>. == Замечание == Таким образом, период состояния <math>j</math> равен <math>d(j)</math>, если из того, что <math>p_{jj}^{(n)}>0</math>, следует, что <math>n</math> делится на <math>d(j)</math>. == Периодические состояния и цепи == * Если <math>d(j) > 1 </math>, то состояние <math>j</math> называется '''периоди́ческим'''. Если <math>d(j) = 1</math>, то состояние <math>j</math> называется '''апериоди́ческим'''. * Периоды [[Достижимое состояние|сообщающихся состояний]] совпадают:: <math>( i \leftrightarrow j ) \Rightarrow ( d(i) = d(j) )</math>.Таким образом период любого [[Достижимое состояние|неразложимого класса]] цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические. * Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в противном случае. [[Категория:Марковские цепиУдалить]]
