1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Примечание: Так как на множестве конечной меры их сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.
== Теорема Леви ==
Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты ==
{{Теорема
|author=
Леви
|statement=
Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и f_n(x) \le f_{n+1}(x). f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) — почти везде конечна на E. Тогда:
|proof=
В силу поточечной монотонности f_n, f как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим — все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.
\int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f
f — суммируемая мажоранта f_n и по теореме Лебега равенство({{TODO|t=???}}) выполняется.
\int\limits_E f = + \infty: \forall m < N по определению интеграла неотрицательной функции \exists E_m — хорошее для f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu. f ограничена на E_m, мера E_m — конечна, то константа, которой определяется f, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для f_n и по теореме Лебега, \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f, и, начиная с N: m < \int\limits_{E_m} f_n.
E_m \in E, f_n \ge 0, и по свойствам интеграла, \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n и m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N, m — произвольное натуральное число, следовательно, \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f, что и требовалось доказать.
}}
\forall \varepsilon > 0
