Изменения

Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n</tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — измеримая.

Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow(E) } f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:

<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f</tex>

Из сходимости по мере по теореме Риса выделим сходящуюся подпоследовательность <tex> f_{n_k}</tex>.

<tex> |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x)</tex>. Устремим <tex> k </tex> к бесконечности, тогда <tex> |f(x)| \le \varphi(x)</tex>.

<tex> \forall \varepsilon > 0, A_\varepsilon </tex> — хорошее для <tex> \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon</tex>

<tex> \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f|</tex>

<tex> \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon </tex> (по выбору <tex> A_\varepsilon</tex>)

<tex> A_{\varepsilon} </tex> — хорошее, следовательно, <tex> \mu A_{\varepsilon} < + \infty, |\varphi(x)| \le M на A_\varepsilon, |f_n| \le \varphi \le M на A_\varepsilon, аналогично, f</tex>.

<tex> |\varphi(x)| \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>, <tex> |f_n| \le \varphi \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>, аналогично, <tex> f </tex>. Тем самым, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex> удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} \rightarrow (xrightarrow[n \to \infty) ]{} 0</tex>. Тогда и <tex> \int\limits_E |f_n - f| \rightarrow (xrightarrow[n \to \infty) ]{} 0</tex>, что и требовалось доказать.