689
правок
Изменения
Нет описания правки
}}
== Свойства объема прямоугольников в R^n == Выведем два три основных свойстваобъемов прямоугольников: ===Свойство 1===
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек, <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi</tex>(прямоугольник), то тогда <tex>v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>.
|proof=Доказательство основано на следующем тождестве:
Если дано какое-то разбиение отрезка <tex>a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b</tex>, то
#??????
#Доказательство!
{{TODO|t=Неплохо бы написать полное доказательство здесь}}
}}
===Свойство 2===
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек и <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi</tex>.
Тогда <tex>v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=Для доказательства заметим, что легко понять, что совокупность прямоугольников {{---}} полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо <tex>\sum\limits^\infty</tex> бесконечной суммы здесь используется конечная.{{---TODO|t=Доказать}} <tex>\sum\limits^n</tex>
}}
===Свойство 3===
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> {{---}} прямоугольники, <tex>\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j</tex>. Тогда <tex>v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=
Это свойство тоже доказывается аналогично соответствующему свойству меры в полукольце.
{{TODO|t=Доказать}}
}}
==Ячейки==
Хотя совокупности совокупность всех прямоугольников {{---}} полукольцои является полукольцом, целесообразно его заузить, а именно:
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\bar a = (a_1, \ldots, a_n)</tex>, <tex>\bar b = (b_1, \ldots, b_n)</tex>. Тогда ячейка <tex>[\overline a; \overline b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)</tex>.
}}
Следующие утверждения проверяются непосредственно:
{{Утверждение
}}
Но ихячеек, так сказать, меньше, чем прямоугольников.
{{Утверждение
|statement=<tex>v(\Pi)</tex> {{---}} конечная полуаддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex> в силу свойств <tex> v </tex>.
}}
==Мера на множестве ячеек==
{{Теорема
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, является мерой мера на этом множестве.|proof=Доказательство будет основано на том, что если в <tex>\mathbb{R}^n</tex> ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Это свойство компактности(это верно, так как <tex> \mathbb {R} ^n </tex> — компакт).
<tex>\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j</tex> {{---}} дизъюнктны. Нужно доказать, что <tex>v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)</tex>.
<tex>\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>
В силу свойства компактов , из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие:
<tex>\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o</tex>
По третьему свойству объёма, <tex>v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) < \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \frac\varepsilon{2^{j_k}}</tex><tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon</tex>.
}}
