Изменения

Пусть есть Будем рассматривать пространство с <tex>\sigma</tex>-конечной, полной мерой, . Пусть <tex>E</tex> - произвольное измеримое множество, <tex>f</tex> - измеримая функция, такая что <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex>- измеримая функция. Рассмотрим совокупность набор множеств <tex> e </tex>, такой, что <tex>e \in E</tex> - измеримо, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>. В такой ситуации существует <tex>\int \limits_{e} f d\mu</tex> {{---}} интеграл Лебега.Следовательно {{Определение|definition=<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\sup \limits_{\{e \}} \int \limits_{e} f d\mu = \int \limits_{E} f d\mu</tex> {{---}} интеграл по <tex>E</tex>. Если этот интеграл конечен, то <tex>f</tex> называется суммируемой на <tex>E</tex>.}} Класс <tex>e</tex> не пустнепуст, так как всегда <tex>\varnothing \in e</tex>. Боле того, можно рассмотреть объединение <tex>X = \bigcup \limits_{n} X_n</tex>, <tex>\mu X_n < +\infty</tex>: Пусть <tex>E_m = E(f(x) \le m)</tex>, <tex>E = \bigcup \limits_{m = 1}^{\infty}E_m</tex>, но <tex>E = E \bigcap cap X = \bigcup\limits_{m, n} (E_m \bigcap cap X_n)</tex>  <tex>E_m \bigcap cap X_n \in subset X_n</tex> , поэтому <tex>\mu(E_m \bigcap cap X_n) < \mu X_n < +\infty</tex> (на множестве <tex>E_m \bigcap cap X_n</tex> <tex>f</tex> {{---}} ограничена), следовательно, <tex>\forall E_m \bigcap X_n \in e</tex>. <br> Все <tex>e</tex> будем условно называеть называть "хорошим множествомхорошими множествами". {TODO|t=здесь и далее есть путаница между классом <tex> e </tex> и его представителями, надо как-нибудь ее устранить}  

|statement=Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: <tex>E = \bigcup \limits_{n} E_n</tex>. <tex>f</tex> {{---}} измеримо, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex> (<tex>E = \bigcup \limits_{n} E_n</tex>). Тогда <tex>\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>.|proof=Заметим, что мы не предполагаем суммируемость <tex>f</tex>.  <tex>\forall E_n \in E: </tex> если <tex>e</tex> — хорошее, относительно <tex>E_n</tex>, то <tex>e</tex> {{---}} — также хорошее, относительно <tex>E</tex>.  По свойствам граней <tex>\int \limits_{E_n} f \le \int \limits_{E} f</tex>.  Если хотя бы на одном из <tex>E_n</tex> <tex>f</tex> не суммируема, то <tex>\int \limits_{E} f = +\infty</tex> и , тогда неравенство тривиально.  Cледовательно , <tex>\forall E_n:\ \int \limits_{E_n} f_n < +\infty</tex>, то есть , <tex>f</tex> {{---}} суммируемма на всех <tex>\forall E_n</tex>.  Если <tex>e</tex> — хорошее, относительно <tex>E = \bigcup \limits_{n}</tex>, то <tex>e_n = E_n \bigcap e</tex> - дизъюнктны.  <tex>e = \bigcup \limits_{n} e_n</tex>- также дизъюнктное объединение.  Так как <tex>f</tex> ограничена на <tex>e</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} ограничена и на всех <tex>e_n</tex>. Мера <tex>e</tex> конечна, отсюда , по <tex>\sigma</tex>-аддитивности интеграла Лебега , <tex>\int \limits_{e} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{e_n} f</tex>. <tex>\int \limits_{e_n}f \le \int \limits_{E_n} f</tex>для любого <tex> e_n </tex>, следовательно,<tex>\int \limits_{e} f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n}f</tex>. Переход  Переходим к точной верхней грани.: <tex>\int \limits_{E}f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>.В Докажем теперь неравенство в обратную сторону. : <tex>f</tex> {{---}} суммируема на всех <tex>\forall E_n</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> : <tex>\int \limits_{E_n} (f - \frac{\varepsilon}{2^n}f ) < \int \limits_{e_n} f</tex>. Просуммируем по <tex> n </tex>: <tex>\sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{E_n} f - \sum \limits_{n = 1}^{N} \frac{\varepsilon}{2^n} < \sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{e_n} f = \int \limits_{\bigcup \limits_{n=1}^{N} e_n \in E} f \le \int \limits_{E} f</tex>. Устремим <tex>N \to \infty</tex>, что можно сделать, так как это числа: <tex>\sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f + \varepsilon \le \int \limits_{E} f</tex>.  Устремив <tex>\varepsilon \to 0</tex>, приходим к пртивоположному противоположному неравенству, таким образом , равенство доказано.

 <tex>\sigma</tex>-аддитивность позволяет переносить на любые <tex>f \ge 0</tex> стандартные свойства интеграла Лебега, например , линейность. Действительно , <tex> \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex> для <tex>f, g \ge 0</tex>. : Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем <tex>E</tex> на измеримые, дизъюнктные множества. <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{f_n}(n - 1 \le f < n)</tex>. Аналогично , <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g < n)</tex>. После этого , <tex>E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \bigcap cap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-конечности меры , можно считать, что <tex>\forall p: \mu B_p < +\infty</tex> для <tex>\forall p</tex>.  За счет <tex>\sigma</tex>-аддитивности интеграла от неотрицательной функции:  <tex>\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p} f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex>. Получили линейность.