689
правок
Изменения
м
Из сходимости по мере <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex>, следовательно, по теореме Риса выделим Рисса, можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> f_{n_k} </tex>.
→Теорема Лебега
Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.
|proof=
<tex> |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x) </tex>. Устремим <tex> k </tex> к бесконечности, тогда <tex> |f(x)| \le \varphi(x) </tex>.
<tex> \forall \varepsilon > 0</tex>, можно подобрать <tex> A_\varepsilon </tex> — хорошее для <tex> \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon </tex>.
<tex> \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \le \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex>
<tex> \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon </tex> (по выбору <tex> A_\varepsilon </tex>)
<tex> A_{\varepsilon} </tex> — хорошее, следовательно, <tex> \mu A_{\varepsilon} < + \infty </tex>, следовательно,<tex> |\varphi(x)| \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>.
<tex> |\varphi(x)f_n|, |f| \le M </tex> на мажорируются <tex> A_\varepsilon </tex>, <tex> |f_n| \le \varphi \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>, аналогично, <tex> f </tex>.
Тем самым, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex> удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Тогда и <tex> \int\limits_E |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, что и требовалось доказать.
}}
Примечание: Так как на множестве конечной меры их из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.
== Теорема Леви ==
