Изменения

В силу поточечной монотонности <tex> f_n </tex>, <tex> f </tex> , как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим — , поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.

Если <tex> \int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f </tex>, то <tex> f </tex> — суммируемая мажоранта <tex> f_n </tex>, и, по теореме Лебега, равенство выполняется.

Если же <tex> \int\limits_E f = + \infty </tex>, то для любого <tex> m \in \mathbb N </tex>, по определению интеграла неотрицательной функции, существует <tex> \exists E_m </tex> — суммируемая мажоранта хорошее для <tex> f_n f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu </tex> и по теореме Лебега равенство выполняется.

<tex> \int\limits_E f = + \infty: \forall m \in \mathbb N </tex> по определению интеграла неотрицательной функции <tex> \exists E_m </tex> хорошее для <tex> f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu </tex>. <tex> f </tex> ограничена на <tex> E_m </tex>, мера <tex> E_m </tex> — конечна, то значит, константа, которой определяется <tex> f </tex>, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для <tex> f_n </tex> и , по теореме Лебега, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f </tex>, и. Поэтому, начиная с <tex> N: , m < \int\limits_{E_m} f_n </tex>.

Но <tex> E_m \subset E, f_n \ge 0 </tex>, и по свойствам интеграла, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n </tex> и <tex> m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N </tex>, <tex> m </tex> — произвольное натуральное число, следовательно, <tex> \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f </tex>, что и требовалось доказать.

Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> на и измеримы на <tex> E </tex> и измеримы , и <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n </tex> — сходится (<tex> < + \infty </tex>). Тогда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> сходится почти всюду на <tex> E </tex>.

Все интегралы определены (неотрицательные функции). <tex> S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) </tex> пшшш. Значит, у них есть предел. Установить что предел с ростом <tex> + \infty n </tex> на нульмерном множествевозрастает. Мы хотим установить, что предел <tex> E_1 = E(S(x) = \rightarrow + \infty) </tex>самое большее — на нульмерном множестве. <tex> S(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> {{TODO|t=блин, тут какое-то уг в конспекте}}

Но к частичным суммам на Пусть <tex> E_1 = E(S(x) = + \infty) </tex> применима теорема Леви и <tex> \int\limits_{mu E_1} S_n \to + \infty > 0 </tex>, но . Тогда <tex> \int\limits_{E_1} S_n \le \intS(x) d\limits_E S_n mu = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k \to infty </tex> конечный предел.

ПротиворечиеНо к частичным суммам на <tex> E_1 </tex> применима теорема Леви и <tex> \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty </tex>, при этом <tex> \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k </tex>, а эта сумма имеет конечный предел. Мы пришли к противоречию, значит, <tex> \mu E_1 = 0 </tex>, ч.т.д.