315
правок
Изменения
→22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега
=22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега=
{{TODOОпределение|t definition= дописатьВерхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу {{---}} <tex>\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p</tex>, <tex>\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p</tex>. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.}} {{Определение|definition=<tex>\tau_1, \tau_2</tex> {{---}} разбиения. Если любой отрезок <tex> e \in \tau_1</tex> содержится в каком-то отрезке <tex>e' \in \tau_2</tex>, то <tex>\tau_1</tex> мельче <tex>\tau_2</tex>, <tex>\tau_1 \leq \tau_2</tex>.}} {{Лемма|statement=1. <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>2. <tex>\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)</tex>, <tex>\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>}} Тогда, если определить <tex>\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)</tex>, <tex>\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)</tex>, то из леммы следует: чего<tex>\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)</tex>. {{Определение|definition=Если <tex>\underline{L} = \overline{L}</tex>, то <tex>f</tex> {{---нить }} интегрируема по темеЛебегу на <tex>E</tex>, общее значение этих чисел {{---}} интеграл Лебега, <tex>\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu</tex>.}} {{Теорема|statement=<tex>f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}</tex>. Иначе говоря, существует интеграл Лебега <tex>\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx</tex>.}}
=23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции=
