338
правок
Изменения
Нет описания правки
|proof=
Пусть <tex>P</tex> - [[Марковская цепь|матрица переходов]], где элемент <tex>p_{ij}</tex> равен вероятности перехода из <tex>i</tex>-го состояния в <tex>j</tex>-ое. Она будет выглядеть как матрица из 4-х блоков, где <tex>Q</tex> - несущественные состояния, а <tex>R</tex> и <tex>I</tex> - существенные (т.к. цепь поглощающая, то из любого несущественного можно попасть в существенное). <tex>I</tex> - единичная матрица.
<tex>P = \begin{pmatrix}
0 & I
\end{pmatrix}</tex>
Пусть вектор <tex>c^{(t)}</tex> - вектор вероятности нахождения на шаге <tex>t</tex>.
Рассмотрим, что представляет из себя возведение матрицы <tex>P</tex> в степень:
<tex>\begin{pmatrix}
Q & R \\
Q & R \\
0 & I
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Q \times Q + R \times 0 & Q \times R + R \times I \\
0 \times Q + I \times 0 & 0 \times R + I \times I
\end{pmatrix}
=
0 & I
\end{pmatrix}</tex> .
<tex>(</tex>Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица <tex>(I \times I = I);</tex> <tex>X</tex> - некоторые значения<tex>).</tex>
Отсюда видно, что <tex>P^n</tex> имеет такой вид: <tex>\begin{pmatrix}
Следовательно нам надо доказать, что <tex>Q^n \xrightarrow{} 0</tex>, при <tex> n\xrightarrow{}+\infty</tex>
Рассмотрим путь из i-го состояния в поглощающее, равное <tex>m_i</tex>. Пусть <tex>p<1</tex> - вероятность того, что через <tex>m_i</tex> шагов из шага <tex>i</tex> не попадет в поглощающее состояние.
