38
правок
Изменения
Нет описания правки
<i>Доказательство.</i><br>
Нужно убедится,что если выполняются аксиомы кольца для <tex>R</tex>, то они выполняяютсяи для <tex>R'</tex>. Докажем аксиому об существовании обратного элемента относительно сложения, остальное аналогично. Пусть <tex>a' \in R'</tex>, а <tex>a</tex> его прообраз в <tex>R</tex>, тогда по аксиоме об существовании обратного элемента относительно сложения <tex>\exists b: a+b=0</tex>. По изоморфизму <tex>\exists b': b \rightarrow b'</tex>, а также <tex>a'+b'=0'</tex>, значит в <tex>R'</tex> также выполняется эта аксиома.
==Примеры колец==
* <tex>\mathbb{Z}</tex> — целые числа.
* <tex>\mathbb{Z}_n</tex> — кольцо вычетов по модулю натурального числа <tex>n</tex>.
* <tex>\mathbb{Q}</tex> — кольцо рациональных чисел, являющееся полем.
* <tex>\mathbb{R}</tex> — кольцо вещественных чисел, являющееся полем.
* <tex>\mathbb{R}[x_1,x_2,...,x_n]</tex> — кольцо многочленов от <tex>n</tex> переменных над полем <tex>\mathbb{R}</tex>.
