|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:
# <tex> X, \empty emptyset \in \tau</tex>
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
}}
Для ТП легко ввести понятие предельного перехода: ВНИМАНИЕ, ВИКИТЕХ <texwikitex>{{Определение|id=deftslimit|definition=Точка $x$ называется '''пределом последовательности $x_n \in $ в топологическом пространстве'''' $(X, x = \lim x_n</tex>tau)$, если $\forall G \in X ni x \exists N: \forall n > N: x_n \in G<$, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.}} {{Определение|id=defnbh|definition=Множество $U$ называет '''окрестностью''' в ТП, если существует открытое $G$: $x \in G \subset U$.}} {{Определение|id=defcont|definition=Отображение $f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)$ называют непрерывным в точке $x \in X$, если для любой окрестности $U_{f(x)}$ существует окрестность $U_x$: $f(U_x) \subset U_{f(x)}$.}} Характеристика непрерывных отображений ТП: $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого $G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1$, то есть прообраз любого открытого множества также открыт. (TODO: в конспекте только в прямую сторону, но вообще вроде это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107) Рассмотрим МП $(X, \rho)$, выделим в семейство открытых множеств множества, являющимися объединениями любого (TODO счетного/несчетного??) числа открытых шаров. Покажем, что это удовлетворяет аксиомам ТП:# Очевидно (видимо, $X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)$, где $x$ — любая точка $X$ если оно непустое, а если пустое, то просто не будем брать ни одного множества)# Очевидно (TODO: а по-моему, не очень очевидно, как показать, что несчетное объединение несчетных/tex> счетных объединений шаров — просто несчетное объединение шаров?)# Докажем для пересечения двух, дальше по индукции:#: $G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup V') \bigcap (\bigcup V'') = \bigcup (V' \bigcap V'')$. (TODO: интересно, почему можно так сделать)#: Рассмотрим $V' \bigcap V''$: $\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''$ (раньше когда-то доказывали), тогда $V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)$ (TODO: тут опять же, интересно, почему счетное/несчетное объединение несчетного числа шаров — счетное/несчетное объединение шаров) В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии. {{Определение|id=deftbase|definition='''Базой топологии''' называют... TODO пщщ в конспекте какая-то бредовня корочехрень}} {{Утверждение|id=propcl|statement=$\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}$, где $\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, y)$.TODO: какое-то странное вспомогательное утверждение про непрерывность TODO: ааа, ниче не понятно. Кажется, доказательство через включение в обе стороны.}} Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны. </wikitex>
