Изменения
опечатка
{{Определение
|id=defms
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow to \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
Некоторые примеры метрических пространств:
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>111
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>(стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является <tex>R^{\infty}</tex>). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
** вторая аксиома: еще очевиднее
** третья аксиомалегко вытекает из следующего утверждения: рассмотрим {{Утверждение|statement=<tex> {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}</tex>|proof=Рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. * <tex> f(t) </tex> возрастает при <tex> t \in [0, \infty) </tex>, поэтому, если <tex> 0 \le t_1 < t_2 </tex>, <tex> f(t_1) < f(t_2) </tex>* <tex> \frac{f(t)}{t} = \frac{1}{1 + t}</tex> убывает при <tex>t \in [0, \infty)</tex>Покажем, что для <tex>f</tex> выполняется <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>. <tex>f(t_1) + f(t_2) = t_1 \frac{1}{1 + t_1} + t_2 \frac{1}{1 + t_2} \ge</tex>(по убыванию <tex>\frac{1}{1 + t}</tex>)<tex>\ge t_1 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} + t_2 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} = \frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} = f(t_1 + t_2)</tex>. Так как <tex> |x - z| \le |x - y| + |y - z| </tex> по свойствам <tex> | \cdot | </tex> и <tex>f</tex> выпукла вверхвозрастает, то <tex> f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)</tex>. Так как знаем, что <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, получаем <tex>f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>, то есть все три аксиомы выполняютсяполучили <tex>f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>. TODO: ШТО? Почему?( Откуда это неравенство и как из этого следует выполнение аксиомы?*: }} {{Утверждение|id=rinfcoordconv|statement=Сходимость в этой метрике <tex> \mathbb{R}^{\infty} </tex> эквивалентна покоординатной . |proof=Рассматриваем <tex> f(t) = \frac{t}{1+t} </tex>, как и в прошлом утверждении.Пусть <tex> x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) </tex>. Покажем, что <tex> x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k </tex>. В прямую сторону: <tex> f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x) </tex>. Пусть <tex> \rho(x^{(n)}, x) < {\varepsilon \over 2^k} </tex>. Тогда <tex> f(|x^{(TODOn)}_k - x_k|) \le \varepsilon </tex>. Так как <tex> t = {1 \over 1 - f(t)} - 1 </tex>, то <tex> t \to 0 </tex>, когда <tex> f(t) \to 0 </tex>, а значит, покоординатная сходимость выполняется. В обратную сторону: подберем такое <tex> k_0 </tex>, чтобы <tex> {\sum\limits_{k = k_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^k}} < \varepsilon </tex>. Возьмем <tex> n_0 </tex> таким, чтобы <tex> \forall k \le k_0, n > n_0: почему?|x^{(n)}_k - x_k| < \varepsilon </tex>.Тогда <tex> \rho(x^{(n)}, x) < \sum\limits_{k = 1}^{k_0} {\varepsilon \over 2^k} + \varepsilon < 2 \varepsilon </tex>. Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем необходимое. }}
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>\mathbb{I} = [0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной (TODO<ref>Кому интересно: почемуметрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, а она не может выполняться в <tex>X = \mathbb{I}^{\mathbb{I}}</tex>, которое понятно как сводится к <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>: [http://math.stackexchange.com/questions/65472/why-is-0-10-1-not-first-countable ''Why is <tex>[0,1]^{[0,1]}</tex> not first countable??)'']</ref>.
Центральную роль в изучении МП играют шары:
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:
# <tex> X, \emptyset varnothing \in \tau</tex>
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
Пару <tex>(X, \tau)</tex> называют '''топологическим пространством'''. Множества, принадлежащие <tex>\tau</tex> , называются '''открытыми'''. (по Хаусдорфу ???). '''Замкнутыми''' называются множества-дополнения к множествам из <tex>\tau</tex>.
}}
'''Внутренностью (interior)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.
'''Замыкание Замыканием (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
'''Границей (boundary, frontier)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.
}}
{{Определение
|id=deftslimit
|definition=
Точка $<tex>x$ </tex> называется '''пределом последовательности $<tex>x_n$ </tex> в топологическом пространстве'''' $<tex>(X, \tau)$</tex>, если $<tex>\forall G \ni x \ \exists N \ \forall n > N: x_n \in G$</tex>, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.
}}
|id=defnbh
|definition=
Множество $<tex>U$ называет </tex> называется '''окрестностью''' точки <tex> x </tex> в ТП, если существует открытое $<tex>G$</tex>: $<tex>x \in G \subset U$</tex>.
}}
|id=defcont
|definition=
Отображение $<tex>f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)$ </tex> называют непрерывным в точке $<tex>x \in X$</tex>, если для любой окрестности $<tex>U_{f(x)}$ </tex> существует окрестность $<tex>U_x$</tex>: $<tex>f(U_x) \subset U_{f(x)}$</tex>.
}}
Характеристика непрерывных отображений ТП: $<tex>f$ </tex> непрерывно тогда и только тогда, когда если для любого $<tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1$</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт. (TODO: в <ref>В конспекте только в прямую сторону, но вообще , вроде , это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107).</ref>
В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.
|id=deftbase
|definition=
'''Базой топологии''' называютнекоторый набор открытых множеств <tex>\sigma</tex>, такой, что <tex> \forall G \in \tau:\ G = \bigcup\limits_{V \in \sigma} V </tex>, то есть, любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения множеств из <tex>\sigma</tex>.}} {{Утверждение|id=contrho|statement=Функция <tex>f(x) = \rho(x, A)</tex> равномерно непрерывна.|proof=<tex>\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)</tex> <tex>\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon > 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) < \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex> Значит, <tex>\rho(x_1, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex>. Аналогично, <tex>\rho(x_2, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon</tex>. TODO пщщ в конспекте какая Отсюда, <tex>|\rho(x_1, A) -то хрень\rho(x_2, A)| < \rho(x_1, x_2) + \varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем равномерную непрерывность <tex>f</tex> по определению.
}}
|id=propcl
|statement=
}}
Замечание: в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.
{{Утверждение
(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)
}}
Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. (TODO: вообще в аксиоме говорится про окрестности, а не шары, важно ли это?)
{{Определение
|id=defmscompldefdense|definition=<tex>A</tex> '''всюду плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Cl} A = X</tex>: Например, <tex>\mathbb{Q}</tex> всюду плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>, так как <tex>\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}</tex>. Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют '''сепарабельным'''. <tex>A</tex> '''нигде не плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \varnothing</tex>.: Например, <tex>\mathbb{Z}</tex> нигде не плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>.}} {{Утверждение|statement=Пусть <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> (X, \rho) </tex>. Тогда в любом шаре есть шар, не содержащий точек <tex>A</tex>.|proof=Пусть <tex> B = \mathrm{Cl} A </tex>, так как <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> X </tex>, то <tex> \mathrm{Int} B = \varnothing </tex>. Это значит, что <tex>\bigcup\limits_{G \subset B} G = \varnothing </tex>, то есть, любое непустое открытое <tex> G </tex> не является подмножеством <tex> B </tex>. Рассмотрим произвольный открытый шар <tex> V </tex>, <tex> V = (V \cap B) \cup (V \cap \overline B) </tex>. Из наших рассуждений следует, что <tex> V \cap \overline B </tex> непусто. Но <tex> \overline B </tex> {{---}} открытое множество, <tex> \overline B = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(a_\alpha) </tex>, <tex> \exists V_1: V \cap V_1 \ne \varnothing </tex>. Тогда можно просто выбрать <tex> V_r(a) \subset V \cap V_1 </tex>, он и будет искомым шаром без точек <tex> A </tex>.}} {{Определение|id=defbaire|definition=Подмножество <tex>A</tex> топологического пространства <tex>X</tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве <tex>X</tex>''', если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в <tex>X</tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.}} {{Теорема|id=thbaire|author=Бэр|statement=Полное МП является множеством II категории в себе.|proof=Пусть <tex>X</tex> — полное и является множеством I категории, то есть представимо как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n</tex>, где <tex>M_n</tex> — нигде не плотно в <tex>X</tex>. Возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_0</tex>, например, радиуса 1. Так как <tex>M_1</tex> нигде не плотно в <tex>X</tex>, оно также нигде не плотно в <tex>\overline V_0</tex>, а, значит, существует замкнутый шар <tex>\overline V_1</tex> радиуса меньше <tex>1 \over 2</tex>, содержащийся в <tex>\overline V_0</tex> и не пересекающийся с <tex>M_1</tex> (<tex>M_1 \cap \overline V_1 = \varnothing</tex>). Аналогично, <tex>M_2</tex> нигде не плотно в <tex>\overline V_1</tex>, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров (<tex>\overline V_{n+1} \subset \overline V_n</tex>) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку <tex>x</tex>, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств <tex>M_n</tex> по построению, то есть, получили противоречие, и <tex>X</tex> не является множеством первой категории.}} {{Утверждение|about=следствие из т. Бэра|statement=Полное МП без изолированных точек несчетно.|proof=Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть <tex>X</tex> — счетно, то есть, можно занумеровать его элементы как <tex>\{ x_1 \dots x_n \dots \}</tex> и представить <tex>X</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}</tex>. Но одноточечные множества нигде не плотны в <tex>X</tex>: рассмотрим шар <tex> V_r(p) </tex>, если <tex> p = x_n </tex>, то внутри шара есть шар с центром не в <tex> x_n </tex> меньшего радиуса, так как <tex> x_n </tex> не является изолированной точкой; для остальных шаров можно взять шар радиуса, меньшего, чем <tex> \rho(x, p) </tex> с центром также в <tex> p </tex>. Тогда <tex> X </tex> является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, <tex>X</tex> должно быть несчетно.}} Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси. {{Определение|id=defmscompact|definition=Замкнутое <tex>K \subset X</tex> называют '''компактом''', если из любой последовательности точек в <tex>K</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой также принадлежит <tex> K </tex>.}} {{Определение|id=defmstb
|definition=
}}
{{Утверждение
|about=
|statement=
|proof=
}}
А еще зачем-то можно рассмотреть для пространства с мерой на сигма-алгебре <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex> пространство измеримых на <tex> E \in \mathcal A </tex> вещественнозначных функций. Если ввести на нем метрику <tex>\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu</tex>, то сходимость последовательности функций в ней будет равносильна сходимости по мере.
== Примечания ==
<references></references>
== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space Topological space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Interior_(topology) Interior (topology)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Closure_(topology) Closure (topology)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dense_(topology) Dense (topology)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_dense_set Nowhere dense set]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space Compact space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Totally_bounded_space Totally bounded space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology) Base (topology)]