1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Пусть $H_1$ — подпространство в $H$, тогда '''ортогональным дополнением''' называется $H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H | \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}$.
}}
Таким образом, для любого $y$ из $Y$ подобрали $z_{\varepsilon}$ из $X$, что $\|z_{\varepsilon} - y \|$ не меньше $1 - \varepsilon$, а тогда и $\rho(z_{\varepsilon}, Y)$ будет не меньше $1 - \varepsilon$ по свойствам инфимума.
TODO: 1) нахера тут что-то про собственное подпространство? Чтобы $Y$ не могло полностью совпадать с $X$ или что? Вообще, при чем тут что-то собственное, вроде никакого оператора тут не наблюдается? 2) нахера $\ge 1 - \varepsilon$, почему нельзя просто $\ge \varepsilon$, раз уж он от 0 до 1? 3) объясните кто-нибудь сакральный смысл этой леммы(((
}}
{{ЛеммаТеорема|about=следствие из леммы о почти перпендикуляренекомпактность шара в бесконечномерном пространстве
|statement=
Если $X$ - бесконечномерное НП $\Rightarrow$, то единичный шар $S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}$ в нем не компактен.
|proof=
Возьмем $x \in S_1$, $Y_1 = \mathcal{L}(x_1)$ — собственное подпространство $X$ (TODO: Што?? почему собственное?), применим лемму Рисса, возьмем $\varepsilon = {1 \over 2}$, существует $x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}$, заметим, что $x_2$ окажется в $S_1$. $Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)$, опять применим лемму Рисса, существует $x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2$, $x_3$ будет в $S_1$. Продолжаем так же для $Y_3 \dots Y_n \dots$. Процесс никогда не завершится, так как $X$ — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в $S_1$, но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как $\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}$, следовательно, $S_1$ не компактно.
}}
