6
правок
Изменения
Нет описания правки
Разделим обе части на <math>x</math>:
<math> \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge x)\le \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </math>
== Примеры ==
== Неравенство Чебышева ==
Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического
ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.
== Формулировка ==
Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</math>, то <math>\forall x > 0</math> будет выполнено
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \ge x) \le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{\xi^2}</math>
== Доказательство ==
Для <math>x>0</math> неравенство <math>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x</math> равносильно неравенству <math>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2</math>, поэтому
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2 ) \le \frac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</math>
== Следствие ==
Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает что вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более,
чем на три корня из дисперсии мала.
Рассмотрим такое утверждение:
Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</math>, то <math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \le 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\ge \frac {1}{9}</math>.
Доказательство:
Согласно неравенству Чебышева
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\le 3\sqrt(\mathbb D\mathrm \xi)\ge \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt(\mathbb D\mathrm \xi))^2}</math>
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем <math>\frac {1}{9}</math>
