Изменения

МП <tex>(X, \rho)</tex> называется '''полным''', если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходитсяк элементу <tex>X</tex>.

Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset</tex>, и является точкойсостоит из одной точки.

Пусть <tex>a_n</tex> — центр соответствующего шара, тогда из вложенности <tex>\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n</tex>, то есть последовательность центров сходится в себе, так как <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда , тошда по полноте пространства последовательность центров сходится к <tex>a\in X</tex>. Покажем, множество что <tex>a \in \bigcap\limits_{n=1}^{a\infty}\overline V_n </tex> и , то есть искомое перечечение<tex>\forall n: a \in \overline V_n</tex>.Для любого <tex>n</tex> шар <tex>\overline V_n </tex> содержит все точки последовательности <tex>\{{TODO|t=где в доказательстве используется замкнутость шаров?a_n \}}{{TODO|t=показать</tex>, что кроме конечного числа. Тогда оставшаяся последовательность центров содержится в <tex>\overline V_n</tex> и также сходится к <tex>a</tex>, а так как <tex> \overline V_n</tex> — замкнутое множество, [[Метрическое пространство#Основное характеристическое свойство замкнутых множеств | оно содержит предел этой точки, последовательности]] и <tex>a \in \overline V_n</tex>. Также кроме <tex>a </tex> в пересечение больше ничего входить не входит}}может: Ну это понятно, пусть есть две разные точки в него еще входит точка <tex>x, yb</tex>, тогда <tex>\rho(xa, yb) > 0</tex>, возьмем шар в пересечении радиусом меньше <tex>\rho(xa, yb) \over 2</tex> (такой есть по стремлению радиусов к <tex>0</tex>), ну и но в нем может лежать либо только одна из точек <tex>x</tex>a, либо <tex>yb</tex>.