1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывныв этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$
* непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0 \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0)$.
{{Определение
|definition=
$A$ '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.
}}
}}
{{TODO |t= тут какая-то хурма про уравновешенность}}
{{Теорема
# $\tau$ инвариантна относительно сдвигов: $\tau + x_0 = \tau$
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля
# $\forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0)$ ({{TODO: |t= какой сакральный смысл у этого свойства?)}}
|proof=
В прямую сторону:
# Рассмотрим отображение $x \mapsto x + x_0$, то есть сдвиг на $x_0$. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если $G \in \tau$ (открыто), $G + x_0$ также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.
# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. $\lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0$, то есть $\forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \ge 0$({{TODO |t= тут вроде был баг в конспекте, проверьте}}) $x \in W(0) \Rightarrow \lambda x \in U(0) \Leftrightarrow \lambda W(0) \subset U(0) \Rightarrow \bigcup\limits_{|\lambda| < \delta} \lambda W(0) \subset U(0)$, где $\lambda W(0)$ — уравновешено и окрестность 0.
#: Для радиальности: $\forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \Rightarrow \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| < \delta, \lambda x_0 \in U(0)$. $x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta}$, то есть $U(0)$ поглощает $x_0$.
# $x + y \to 0, x, y \to 0 \forall U(0) \exists U_1(0) \Rightarrow U_1(0) + U_1(0) \subset U(0)$.
Непрерывность умножения: пусть $\lambda \to \lambda_0, x \to x_0$, покажем что $\lambda x \to \lambda_0 x_0$. Пусть $\lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0$, $x = x_0 + u, u \to 0$. Тогда $\lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u)$. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.
{{TODO |t= дальше ничего что-то не понимаю, запилите кто-нибудь,а?}}
}}
|author=Колмогоров
|statement=
[[Хаусдорфово]] ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность. ({{TODO|t=: к чему это?)}}
|proof=
В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то $V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \}$
{{TODO: |t= далее я что-то не особенно осознал, что происходит(}}
В обратную: пусть $V$ — ограниченная выпуклая окрестность нуля. $W$ — радиальная закр. ({{TODO |t= что значит закр.?}}) окрестность 0: $W \subset V$, $\mathrm{Cov} W $ — выпуклая оболочка, $V$ — выпуклая, $\mathrm{Cov} W \subset V$, $\mathrm{Cov} W$ — радиальное закр. множество, так как $W$ — такое же. Из ограниченности $V$ следует ограниченность $\mathrm{Cov} W$.
То есть, мы построили $V^* = \mathrm{Cov} W$ — радиальное закр. выпуклую {{TODO |t= пшшш. }} $V^* \to p_{V^*}$ — функционал Минковского — полунорма. $V^*$ ограничено, тогда $\{ {1 \over n} V^* \}$ — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0$, то есть $p_{V^*}$ — норма, а $\{ {1 \over n} V^*\}$ — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.
}}
