689
правок
Изменения
м
упражнение решил
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset</tex>, и состоит из одной точки.
|proof=
Пусть <tex>a_n</tex> — центр соответствующего шара, тогда из вложенности <tex>\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n</tex>, то есть последовательность центров сходится в себе, так как <tex>r_n \to 0</tex>, тошда тогда по полноте пространства последовательность центров сходится к <tex>a \in X</tex>.
Покажем, что <tex> a \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n </tex>, то есть <tex>\forall n: a \in \overline V_n</tex>. Для любого <tex>n</tex> шар <tex>\overline V_n </tex> содержит все точки последовательности <tex>\{a_n \}</tex>, кроме конечного числа. Тогда оставшаяся последовательность центров содержится в <tex>\overline V_n</tex> и также сходится к <tex>a</tex>, а так как <tex> \overline V_n</tex> — замкнутое множество, [[Метрическое пространство#Основное характеристическое свойство замкнутых множеств | оно содержит предел этой последовательности]] и <tex>a \in \overline V_n</tex>.
Также , кроме <tex>a </tex> в пересечение ничего входить не может: пусть в него еще входит точка <tex>b</tex>,тогда <tex>\rho(a, b) > 0</tex>, возьмем шар в пересечении радиусом меньше <tex>\rho(a, b) \over 2</tex> (такой есть по стремлению радиусов к <tex>0</tex>), но в нем может лежать только одна из точек <tex>a,b</tex>.
}}
Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное.
|proof=
{{TODO|t=Это было упражнение. Solved by --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 07:22, 7 января 2013 (GST)}} Нужно установить равносильность сходимости <tex> \overline x^{(n)} \in R^{\infty} </tex> и ее сходимости в себе. <tex> \Rightarrow </tex>: Пусть <tex> \lim\limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x </tex>. Так как <tex> \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \le \rho(x^{(n)}, x) + \rho(x^{(m)}, x) </tex>, и при <tex> n, m \to \infty </tex> каждое из слагаемых в правой части стремится к <tex> 0 </tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе по определению. <tex> \Leftarrow </tex>: Пусть <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе. Так как <tex>\forall k:\ \rho(x^{(n)}_k, x^{(m)}_k) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \to 0 </tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе также и покоординатно. Но по полноте <tex> \mathbb R </tex>, каждая из последовательностей по отдельной координате сходится: <tex> \forall k:\ x^{(n)}_k \to x_k </tex>. Так как покоординатная сходимость в метрике <tex> \mathbb R^{\infty} </tex> равносильна просто сходимости, то <tex> x^{(n)} \to x = (x_1, x_2, \ldots x_n, \ldots) </tex>.
}}
