Изменения

'''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве $<tex>X$ </tex> называется функция $<tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}$</tex>, удовлетворяющяя следующим аксиомам:# $<tex>\langle x, x \rangle \ge 0$ </tex> и $<tex>\langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$</tex># $<tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$</tex># $<tex>\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$</tex>Пару из линейного пространства и скалярного произведения на нем называют '''евклидовым пространством''' TODO (в конспекте почему-то : унитарное, но унитарное — это же комплексное(пространство)

* $<tex>X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k$</tex>* $<tex>X = \ell_2$</tex>, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ($<tex>x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty$</tex>). $<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i$</tex>, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны [[Нормированные пространства#Пространство последовательностей | тут]].

В УП выполняется [[Нормированные пространства#Гильбертовы пространства | неравенство Шварца]] : $<tex>|\langle x, y\rangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$</tex>

УП — частный случай [[нормированных пространств]]: можно ввести норму как $<tex>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$</tex>, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.

Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется '''равенство параллелограмма''': $<tex>\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2$</tex>.

{{Теорема|statement=Пусть $<tex>M$ </tex> — выпуклое замкнутое множество в $<tex>H$</tex>, тогда $<tex>\forall x \in H \ \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|$</tex>. $<tex>z$ </tex> называется '''элементом наилучшего приближени (док-во приближения'''|proof=[[Наилучшее приближение в прошлом семестре).линейных нормированных пространствах]]}}

Пусть $H_1$ — подпространство в $Говорят, что два элемента <tex> x, y </tex> гильбертова пространства <tex> H$, тогда </tex> '''ортогональным дополнениемперпендикулярны''' называется $H_2 = H_1^{(<tex> x \perp} = \{ x \in H \mid \forall y </tex>), если <tex> \in H_1: langle x \perp , y\}$rangle = 0.</tex>

{{Определение|definition=Пусть <tex>H_1</tex> — подпространство в <tex>H</tex>, тогда '''ортогональным дополнением''' называется <tex>H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}</tex>.}} {{Теорема|statement=Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> — его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.|proof=Доказывалось ранее.{{TODO: что-то неразборчивое про прямую сумму|t=Где именно? Было ли вообще это утверждение доказано в курсе матана?}}}}

Пусть $<tex>X$ </tex> — НП, а $<tex>Y$ </tex> - собственное подпространство $<tex>X$</tex>, тогда $<tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon$ </tex> (где $<tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|$</tex>)

Если $<tex>Y$ </tex> — строго подмножество $<tex>X$</tex>, то существует $<tex>x_0 \notin Y$</tex>.

$<tex>d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \| x_0 - y \|$</tex>

Пусть $<tex>d = 0$</tex>, тогда $<tex>\forall n \in \mathbb{N} \exists y_n \in Y: \| x_0 - y_n \| < {1 \over n}$</tex>, то есть $<tex>y_n \to x_0$</tex>. $<tex>Y$ </tex> — замкнутое, следовательно, $<tex>x_0 \in Y$</tex>, то есть получили противоречие и $<tex>d > 0$</tex>.

$<tex>\varepsilon \in (0, 1)$</tex>, тогда $<tex>{1 \over 1 - \varepsilon} > 1$</tex>, $<tex>\exists y_{\varepsilon} \in Y: \| x_0 - y_{\varepsilon} \| < {1 \over 1 - \varepsilon} d$</tex>. Рассмотрим $<tex>z_{\varepsilon} = {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|}, \| z_{\varepsilon}\| = 1$</tex>

$<tex>\forall y \in Y: \| z_{\varepsilon} - y \| = \left\| {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|} - y \right\| = {\| x_0 - y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \| \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \| }$</tex>. $<tex>y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon}\|$ </tex> лежит в $<tex>Y$ </tex> так как оно замкнуто, тогда числитель будет больше $<tex>d$</tex>, а знаменатель — меньше $<tex>{1 \over 1 - \varepsilon} d$</tex>, то есть дробь будет больше $<tex>1 - \varepsilon$</tex>.

Таким образом, для любого $<tex>y$ </tex> из $<tex>Y$ </tex> подобрали $<tex>z_{\varepsilon}$ </tex> из $<tex>X$</tex>, что $<tex>\|z_{\varepsilon} - y \|$ </tex> не меньше $<tex>1 - \varepsilon$</tex>, а тогда и $<tex>\rho(z_{\varepsilon}, Y)$ </tex> будет не меньше $<tex>1 - \varepsilon$ </tex> по свойствам инфимума.}}

TODO: 1) нахера тут Смысл данной леммы состоит в том, что-то про собственное подпространство? Чтобы $Y$ не могло полностью совпадать с $в произвольном нормированном пространстве <tex> X$ или что? Вообще, при чем тут что-то собственное, вроде никакого оператора тут не наблюдается? 2) нахера $\ge 1 - </tex> для сколь угодно малого <tex> \varepsilon$</tex> и произвольного подпространства <tex> Y </tex> найдется элемент, почему нельзя просто $\ge который будет к нему перпендикулярен с точностью до <tex> \varepsilon$, раз уж он от 0 до 1? 3) объясните кто-нибудь сакральный смысл этой леммы(((}}</tex>.

Если $<tex>X$ </tex> - бесконечномерное НП, то единичный шар $<tex>S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}$ </tex> в нем не компактен.

Возьмем $<tex>x \in S_1$</tex>, $<tex>Y_1 = \mathcal{L}(x_1)$ </tex> — собственное подпространство $<tex>X$ </tex> (TODO: Што?? почему собственное?), применим лемму Рисса, возьмем $<tex>\varepsilon = {1 \over 2}$</tex>, существует $<tex>x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}$</tex>, заметим, что $<tex>x_2$ </tex> окажется в $<tex>S_1$</tex>.

$<tex>Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)$</tex>, опять применим лемму Рисса, существует $<tex>x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2$</tex>, $<tex>x_3$ </tex> будет в $<tex>S_1$</tex>.

Продолжаем так же для $<tex>Y_3 \dots Y_n \dots$</tex>. Процесс никогда не завершится, так как $<tex>X$ </tex> — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в $<tex>S_1$</tex>, но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как $<tex>\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}$</tex>, следовательно, $<tex>S_1$ </tex> не компактно.

В Гильбертовых пространствах важно понятие ортонормированной системы точек: $<tex>e_1 \dots e_n \dots \in H, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$</tex>.

Рассмотрим для точки $<tex>x \in H$ </tex> абстрактный ряд Фурье $<tex>\sum_{i=1}^{\infty} \langle x, e_i \rangle e_i$</tex>, $<tex>\langle x, e_i\rangle$ </tex> называют абстрактными коэффициентами Фурье.

$<tex>T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n$</tex>

Теорема: $<tex>\forall x \in H: \rho(x, H_n) = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| $</tex>. TODO: найти доказательство, где-то было оно

$ <tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2$</tex>

Для некоторого набора коэффициентов $ <tex> \beta_k $ </tex> рассмотрим скалярное произведение:

$ <tex> 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, e_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = $</tex>

$ <tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n(x, e_k)^2 $</tex>.Теперь, пусть $ <tex> \beta_k = (x, l_k) $</tex>, имеем $ <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 $</tex>, устремив $ <tex> n $ </tex> к бесконечности, получим требуемое.

Интересно рассмотреть, когда для всех $<tex>x$ </tex> неравенство превращается в равенство.

В неравенстве Бесселя для любого $<tex>x$ </tex> будет равенство тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая. TODO: пшшш, что-то неразборчивое

Пусть $<tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}$ </tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве $<tex>H$</tex>, $<tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty<$</tex>. Тогда $<tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle$ </tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': $<tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2$ </tex> TODO: что-то не понял, откуда альфы берутся, ряд типа нам дают, а мы уже по нему точку строим?

Вопрос: какое топологическое свойство характеризует существование базиса: замкнутость ОНС? Достаточно требовать, чтобы $<tex>H$ </tex> было сепарабельным: $<tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H$ </tex> — счетное всюду плотное.

$<tex>\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H$</tex>, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала. ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.