Изменения

Пусть <tex> u_n \in C[a; , b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.  Тогда <tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex> <tex> * </tex>1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.|proof=<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex> Сделаем предельный переход по <tex>N</tex> <tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>