689
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> — {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.
|proof=
Доказывалось ранее.
|about=о почти перпендикуляре
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — НП, а <tex>Y</tex> {{- --}} собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство <tex>X</tex>, тогда <tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)
|proof=
Если <tex>Y</tex> — строго подмножество <tex>X</tex>, то существует <tex>x_0 \notin Y</tex>.
<tex>Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)</tex>, опять применим лемму Рисса, существует <tex>x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2</tex>, <tex>x_3</tex> будет в <tex>S_1</tex>.
Продолжаем так же для <tex>Y_3 \dots Y_n \dots</tex>. Процесс никогда не завершится, так как <tex>X</tex> — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в <tex>S_1</tex>, но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как <tex>\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}</tex>, следовательно, <tex>S_1</tex> не компактно.
}}
<tex>T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n</tex>
{{Теорема: |statement=<tex>\forall x \in H: \rho(inf\limits_{h \in H_n} \|x, H_n) - h \| = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| </tex>. {{TODO|tproof= найти доказательство, гдеДоказательство есть здесь: [[L_2-то было онотеория рядов Фурье]].}}
{{Теорема
{{Теорема
|about=
|statement=
|proof=
}}
Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex>
|proof=
И это доказательство тоже здесь есть: [[L 2-теория рядов Фурье#Теорема Рисса-Фишера|Теорема Рисса-Фишера]].
}}
<tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H</tex> — счетное всюду плотное. <tex>\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H</tex>, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала. ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.}}
== Ссылки ==
