Изменения

Рассмотрим множество $<tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R}$</tex>. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.

* непрерывность умножения на скаляр: $<tex> \alpha x \to \alpha_0 x_0$</tex>, если $<tex> \alpha \to \alpha_0$</tex>, $<tex> x \to x_0$</tex>. Означает, что для любой окрестности $<tex> U(\alpha_0 x_0)$ </tex> существует $ <tex> \varepsilon > 0$ </tex> и существует $<tex> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$</tex>* непрерывность сложения векторов: $<tex> x + y \to x_0 + y_0$</tex>, если $<tex> x \to x_0$</tex>, $<tex> y \to y_0$</tex>. Означает, что для любой окрестности $<tex> U(x_0 + y_0)$ </tex> существуют окрестности $<tex> U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0 \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0)$</tex>.

В ситуации $<tex> f: [0, 1] \to \mathbb{R}$</tex>, когда предел определен поточечно, если $<tex> \forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0$ </tex> рассмотреть $<tex> U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \}$</tex>, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.

Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть $<tex> X$ </tex> — линейное пространство, $<tex> A, B \subset X$</tex>, тогда определим* $<tex>A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}</tex>$ $</tex>\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}$Заметим, что $<tex> 2 A \subset A + A$</tex>, но обратное не верно.

$<tex> A$ </tex> '''закругленное/уравновешенное''', если $<tex> \forall \lambda: |\lambda| < 1: \lambda A \subset A$</tex>.

$<tex> A$ </tex> '''поглощает''' $<tex> B$</tex>, если $<tex> \exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda: |\lambda| > \lambda_0: B \subset \lambda A$</tex>.

$<tex> A$ </tex> '''радиальное/поглощающее''', если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.

$<tex> A$ </tex> '''выпуклое''', если $<tex> \forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A$</tex>, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.

Существует стандартная конструкция, которая позволяет уравновесить любое множество.{{TODOУтверждение|tstatement= тут какая-то хурма про уравновешенность}} Как уравновесить любое множество?Пусть <tex>A \in X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon<br/tex>A - уравновешенное? Проверим это. |proof=Пусть <brtex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:

Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon \Rightarrow </tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex> , что и требовалось доказать.}} 

$<tex> \tau$ </tex> — векторная топология на $<tex> X$ </tex> тогда и только тогда, когда:# $<tex> \tau$ </tex> инвариантна относительно сдвигов: $<tex> \tau + x_0 = \tau$</tex>

# $<tex> \forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0)$</tex>

# Рассмотрим отображение $<tex> x \mapsto x + x_0$</tex>, то есть сдвиг на $<tex> x_0$</tex>. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если $<tex> G \in \tau$ </tex> (открыто), $<tex> G + x_0$ </tex> также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов.# Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. $<tex> \lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0$</tex>, то есть $<tex> \forall U(0) \exists \delta > 0, W(0): |\lambda| \ge 0$</tex>({{TODO|t= тут вроде был баг в конспекте, проверьте}}) $<tex> x \in W(0) \Rightarrow \lambda x \in U(0) \Leftrightarrow \lambda W(0) \subset U(0) \Rightarrow \bigcup\limits_{|\lambda| < \delta} \lambda W(0) \subset U(0)$</tex>, где $<tex> \lambda W(0)$ </tex> — уравновешено и окрестность 0.#: Для радиальности: $<tex> \forall x_0 \in X, \lambda \to 0, \lambda x_0 \to 0 x_0 = 0 \Rightarrow \forall U(0) \exists \delta > 0: |\lambda| < \delta, \lambda x_0 \in U(0)$</tex>. $<tex> x_0 \in {1 \over \lambda} U(0), |\lambda| \le \delta, \left| {1 \over \lambda} \right| \ge {1 \over \delta}$</tex>, то есть $<tex> U(0)$ </tex> поглощает $<tex> x_0$</tex>.# $<tex> x + y \to 0, x, y \to 0 \forall U(0) \exists U_1(0) \Rightarrow U_1(0) + U_1(0) \subset U(0)$</tex>.

*: Вспомогательный факт: если $<tex> x \to x_0$</tex>, то $<tex> x - x_0 \to 0$</tex>, то есть $<tex> x$ </tex> представимо как $ <tex> x = x_0 + y, y \to 0$</tex>.*: Если $<tex> x \to x_0, y \to y_0$</tex>. $<tex> x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0$</tex>. $<tex> x + y = (x_0 + y_0) + (u + v)$</tex>, где по свойствам предела $<tex> (u + v) \to 0$</tex>, что и требуется.

Непрерывность умножения: пусть $<tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0$</tex>, покажем что $<tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0$</tex>. Пусть $<tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0$</tex>, $<tex> x = x_0 + u, u \to 0$</tex>. Тогда $<tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u)$</tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.

Пусть $<tex> X$ </tex> — линейное пространство, $<tex> M$ </tex> — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' $<tex> p_{\mu}$ </tex> определяется как $<tex> p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda M\}$</tex>.

Заметим, что если $<tex> M, N$ </tex> — радиальны и $<tex> M \subset N$</tex>, то $<tex> p_N(x) \le p_M(x)$</tex>.

* $<tex> X$ </tex> — НП, $<tex> V_1 = \{ x \mid \|x\| < 1\}, p_{V_1}(x) = \|x\|$</tex>, сдедовательно, норма — частный случай функционала Минковского.

Если $<tex> M$ </tex> — уравновешенное радиальное выпуклое множество, $<tex> p_M(X)$ </tex> — полунорма на $<tex> X$</tex>.

$<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y)$</tex>

$<tex> \exists \lambda > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon$</tex>, $<tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon$</tex>, $<tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \Rightarrow {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M$</tex>. Рассмотрим $<tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2}$</tex>, заметим, что $<tex> \alpha + \beta = 1$</tex>, из выпуклости получим, что $<tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \Rightarrow {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \Rightarrow x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M$</tex>, то есть $ <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < (p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon $ </tex>, сделав предельный переход, получим $<tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y)$</tex>.

$<tex> p_M(\lambda x) = |\lambda| p_M(x)$ </tex> проверяется аналогично.

В прямую сторону: если ТВП нормируемо, то $<tex> V_r = \{ x : \| x \| \le 1 \}$</tex>

В обратную: пусть $<tex> V$ </tex> — ограниченная выпуклая окрестность нуля. $<tex> W$ </tex> — радиальная уравновешенная) окрестность 0: $<tex> W \subset V$</tex>, $<tex> \mathrm{Cov} W $ </tex> — выпуклая оболочка ({{TODO|t=оболочка чего??}}), $<tex> V$ </tex> — выпуклая, $<tex> \mathrm{Cov} W \subset V$</tex>, $<tex> \mathrm{Cov} W$ </tex> — радиальное уравновешенное множество, так как $<tex> W$ </tex> — такое же. Из ограниченности $<tex> V$ </tex> следует ограниченность $<tex> \mathrm{Cov} W$</tex>, то есть, мы построили $<tex> V^* = \mathrm{Cov} W$ </tex> — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность $<tex> 0$</tex>.

$<tex> V^* \to p_{V^*}$ </tex> — функционал Минковского — полунорма. $<tex> V^*$ </tex> ограничено, тогда $<tex> \{ {1 \over n} V^* \}$ </tex> — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то $<tex> \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0$</tex>, то есть $<tex> p_{V^*}$ </tex> — норма, а $<tex> \{ {1 \over n} V^*\}$ </tex> — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.