223
правки
Изменения
м
опечатки
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>A \in subset X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> — уравновешенное.
|proof=
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:
<tex>x \in \mu A_{\varepsilon}</tex>. <tex>x = \mu y</tex>. <tex>y \in A_{\varepsilon}</tex>. <tex>y \in \lambda A</tex>. <tex>|\lambda| \le \varepsilon</tex>
<tex>y = \lambda z, z \in A</tex>. Тогда <tex>x = |(\mu \lambda| ) z</tex>, но <tex>|\mu \lambda| = |\mu||\lambda| \leq |\lambda| \leq \varepsilon</tex>
Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.
