1302
правки
Изменения
м
... пример
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется ''компактным'',
если любое ограниченное множество в <tex> X A </tex> переводит любое ограниченное множество из <tex> A X </tex> переводитв относительно компактное множество в из <tex> Y </tex>. {{TODO|t = определение относительно компактного множества}}
}}
{{TODO|t = определение относительно компактного множества}}
Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.
Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(u, v) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено : <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.
<tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.
<tex> A(x,t) \in C[0,1] </tex>. Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex> <tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex> <tex> \| A(x,t) \| \leq M \cdot \| x \| </tex>
