1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно}}{{Определение|definition=Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''',если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное множество из <tex> X </tex>в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>
<tex> \| A(x\| \leq M \cdot \| x \| </tex> <tex> T \subset C[0,t) 1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex># <tex> \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex># <tex> \cdot forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex>— '''равностепенная непрерывность'''.
== Критерий проверки компактности ==
Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен. {{TODO|t=чо?}}
Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.
== Произведение компактных операторов ==
{{TODO | t = к чему относиться следующий абзац??? }}
{{Утверждение
