1679
правок
Изменения
→Теоремы о множестве значений оператора
== Теоремы о множестве значений оператора ==
=== Теорема 1 ===
Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>, если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>. Теперь надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A^*</tex>. {{TODO | t = Далее творится какой-то ад с использованием т. Х-Б, кто прошаренный в матане, напишите пожалуйста, особенно про факторизацию}}
}}
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.
