355
правок
Изменения
→Существование триангуляции Делоне
Окружность, спроецированная на параболоид, находится в одной плоскости. Все точки, лежащие внутри окружности, будут лежать под этой плоскостью. Точки, лежащие вне окружности, будут лежать над плоскостью.
|proof=
Докажем данное утверждение для n-мерного случая. Возьмём <tex>a_1, a_2, ..., a_{n+1}</tex> афинно независимых точек и опишем вокруг них окружность с центром в точке <tex>O</tex> и радиусом <tex>R</tex>. Возьмём произвольную точку <tex>x</tex>, лежащую на расстоянии <tex>tR</tex> от <tex>O</tex>, и посмотрим, как параметр <tex>t</tex> влияет на положение её проекции на параболоид. Представим <tex>\vec{a_i}</tex> как <tex>\vec O + \vec{r_i}</tex>, а <tex>\vec x</tex> — как <tex>\vec O + \vec{r_x}</tex>. Тогда проекции точек на параболоид будут выглядеть так: <tex>(\vec O + \vec{r_i}, (\vec O + \vec{TODO|tr_i})^2) = (\vec O + \vec{r_i}, \vec O^2 + \vec{r_i}^2 + 2\vec O \vec {r_i}) = (\vec O + \vec{r_i}, \vec O^2 + R^2 + 2\vec O \vec {r_i})</tex> <tex>(\vec O + \vec{r_x}, (\vec O + \vec{r_x})^2) = (\vec O + \vec{r_x}, \vec O^2 + \vec{r_x}^2 + 2\vec O \vec {r_x}) =Тут будет какой-(\vec O + \vec{r_x}, \vec O^2 + (tR)^2 + 2\vec O \vec {r_x})</tex> Так как <tex>\{r_i\}</tex> афинно независимы, то <tex>r_x</tex> можно представить как <tex>r_x = \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i r_i</tex>, причём <tex>\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i = 1</tex>. Запишем определитель спроецированных , показывающий положение точки <tex>x</tex> на параболоид точек}параболоиде относительно плоскости, заданной точками <tex>\{a_i\}</tex>:
<tex>
\begin{vmatrix}
\end{vmatrix}
</tex>
Умножим первые <tex>n+1</tex> строк на <tex>\alpha_i</tex> и вычтем из последней:
<tex>
\begin{vmatrix}
O + r_1 & O^2 + R^2 + 2Or_1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
O + r_{n+1} & O^2 + R^2 + 2Or_{n+1} & 1 \\
r_x - \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i r_i & (tR)^2 - R^2 + 2O(r_x - \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i r_i) & 0
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
O + r_1 & O^2 + R^2 + 2Or_1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
O + r_{n+1} & O^2 + R^2 + 2Or_{n+1} & 1 \\
0 & R^2(t^2 - 1) & 0
\end{vmatrix}
=
R^2(t^2-1)
\begin{vmatrix}
O + r_1 & 1 \\
\vdots & \vdots \\
O + r_{n+1} & 1
\end{vmatrix}
</tex>
Из определителя видно, что, если <tex>t > 1</tex> (точка <tex>x</tex> лежит вне окружности), то определитель положителен, то есть точка <tex>x</tex> лежит выше плоскости, заданной точками <tex>\{a_i\}</tex>. Если же <tex>t < 1</tex> (точка <tex>x</tex> лежит внутри окружности), то определитель отрицателен, и точка <tex>x</tex> лежит ниже плоскости. Если же точка лежит на окружности, то она попадает на ту же плоскость.
}}
{{Теорема
