105
правок
Изменения
Нет описания правки
Тогда цикл <tex>c</tex> распадется на <tex>N</tex> путей, которым будут принадлежать все ребра <tex>G</tex>.
'''Достаточность'''<br/>Докажем, что <tex>G</tex> нельзя покрыть менее, чем <tex>N</tex> реберно-простыми путями.<br/>Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей <tex>p_1, p_2, ... p_k, k < N</tex>, такой что он покрывает все ребра <tex>G</tex>.<br/>Пусть <tex>i-</tex>й путь из этого набора имеет вид <tex> w_i = u</tex><sub><tex>i_0</tex></sub> <tex> \rightarrow u</tex><sub><tex>i_0</tex></sub> <tex>u</tex><sub><tex>i_1</tex></sub> <tex> \rightarrow u</tex><sub><tex>i_1</tex></sub> <tex> \rightarrow ... \rightarrow u</tex><sub><tex>i_l</tex></sub>. Добавим в <tex>G</tex> все ребра вида <tex>u</tex><sub><tex>i_l</tex></sub> <tex>u</tex><sub><tex>(i+1)_0</tex></sub> и ребро <tex>u</tex><sub><tex>k_l</tex></sub> <tex>u</tex><sub><tex>1_0</tex></sub>. В новом графе появится Эйлеров цикл. Всего будет добавлено <tex>k</tex> ребер, которые изменят четность не более, чем <tex>2k</tex> вершин. Т.к. <tex>k < N</tex>, то в графе останутся вершины нечетной степени.<br/>Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше <tex>N</tex>, не существует.
}}
