59
правок
Изменения
Нет описания правки
Следующее утверждение являются следствием из [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|критерия Эйлеровости]] [[Основные определения теории графов|графа]]:
{{Теорема|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов#cite_note-almost-0|почти связный]] граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечетную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество ребер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> [[Основные определения теории графов|реберно -простыми ]] путями.
|proof=
[[Файл:Make_edges_paths_1.png|180px|right|thumb|Пример графа для <tex>N = 2</tex>]]
'''Необходимость'''<br/>
Докажем, что <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> реберно-простыми путями.<br/>
Добавим в <tex>G</tex> <tex>N</tex> ребер <tex>uv</tex> таких, что <tex>uv</tex> &<tex>\notin; </tex> <tex>G</tex> и степени вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> нечетные. Тогда степени всех вершин станут четными, и в <tex>G</tex> появится Эйлеров цикл <tex>c</tex>. Удалим из <tex>c</tex> добавленные ребра.<br/>Тогда Заметим, что теперь цикл распадается на <tex>cN </tex> распадется на простых путей. В самом деле: отметим удаленные ребра в порядке их обхода в Эйлеровом цикле. Тогда <tex>Nc </tex> путей, которым будут принадлежать все ребра разбивается на <tex>GN </tex>реберно-непересекающихся путей, т.к. каждый такой путь мы можем сопоставить удаленному ребру. Необходимость доказана.
'''Достаточность'''<br/>
Докажем, что <tex>G</tex> нельзя покрыть менее, чем <tex>N</tex> реберно-простыми путями.<br/>
Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей <tex>p_1, p_2, ... p_k, k < N</tex>, такой что он покрывает все ребра <tex>G</tex>.<br/>
Пусть <tex>i-</tex>й путь из этого набора имеет вид <tex> w_i = u_{i_0}e_{i_1}u_{i_1}...u_{i_l}</tex>. Добавим в <tex>G</tex> все ребра вида <tex>u_{i_l}u_{{i+1}_0}</tex> и ребро <tex>u_{k_l}u_{1_0}</tex>. В новом графе появится Эйлеров цикл, т.к. мы добавили ребра, соединяющие конец и начало <tex> i </tex> и <tex> i + 1 </tex> пути соответственно. Всего будет добавлено <tex>k</tex> ребер, которые изменят меняют четность не более, чем <tex>2k</tex> вершин. Т.к. <tex>k < N</tex>, то в графе останутся вершины нечетной степени, что не удовлетворяет критерию Эйлеровости графа.<br/>
Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше <tex>N</tex>, не существует.
* [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов]]
==ЛитератураИсточники информации==
* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]
