Изменения

Пусть <mathtex> A</mathtex> - некоторое событие. Назовем индикатором события <mathtex>A</mathtex> случайную величину <mathtex>I</mathtex>, равную единице если событие <mathtex>A</mathtex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <mathtex>I(A)</mathtex> имеет распределение Бернулли с параметром <mathtex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</mathtex>,

<mathtex> p = \mathbb P\mathrm (A) </mathtex>. Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <mathtex>I(A) + I(\overline A) = 1</mathtex>. Поэтому <mathtex>|\xi|=|\xi|*\times I(|\xi|<x)+|\xi|*\times I(|\xi|\ge geqslant x)\ge geqslant |\xi|*\times I(|\xi|\ge geqslant x)\ge geqslant x*\times I(|\xi| \ge geqslant x)</mathtex>.

<mathtex>\mathbb E\mathrm |\xi|\ge geqslant \mathbb E\mathrm(x*\times I(|\xi|\ge geqslant x)) = x*\times \mathbb P\mathrm (|\xi|\ge geqslant x)</mathtex>.Разделим обе части на <mathtex>x</mathtex>: <mathtex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge geqslant x)\le leqslant \frac dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </mathtex>