18
правок
Изменения
м
→Формулировка
== Формулировка ==
{{Теорема|about = Неравенство Маркова| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+</tex> определена на вероятностном пространстве (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее математическое ожидание <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|<\mathcal {1}</tex>. Тогда
<tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
| proof = Возьмем для доказательства следующее понятие:
Пусть <tex> A</tex> - некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет распределение Бернулли с параметром
:<tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</tex>,
и ее математическое ожидание равно вероятности успеха
<tex> p = \mathbb P\mathrm (A) </tex>.
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому
:<tex>|\xi|=|\xi|\times I(|\xi|<x)+|\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\times I(|\xi| \geqslant x)</tex>.
Тогда
:<tex> \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\times I(|\xi|\geqslant x)) = x\times \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) </tex>.
Разделим обе части на <tex>x</tex>:
:<tex> \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
}}
== Доказательство ==
