18
правок
Изменения
м
== Доказательство ==
Возьмем для доказательства следующее понятие:
Пусть <tex> A</tex> - некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет распределение Бернулли с параметром
<tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</tex>,
и ее математическое ожидание равно вероятности успеха
<tex> p = \mathbb P\mathrm (A) </tex>.
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому
<tex>|\xi|=|\xi|\times I(|\xi|<x)+|\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\times I(|\xi| \geqslant x)</tex>.
Тогда
<tex>\mathbb E\mathrm |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\times I(|\xi|\geqslant x)) = x\times \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x)</tex>.
Разделим обе части на <tex>x</tex>:
<tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
Удалил раздел доказательство, а само доказательство оформил как приложение к теореме
:<tex> \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
}}
== Примеры ==
