Изменения

|definition = '''Нера́венство Ма́ркова '''(англ. Markov's inequality) в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно

| id = thMark |about = Неравенство Маркова| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+</tex> определена на [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве ]] (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание ]] <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|<\mathcal {1}</tex>. Тогда <tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \frac dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>где : <tex> x </tex> - константа соответствующая некоторому событию в терминах [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]: <tex> \xi </tex> - случайная величина : <tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)</tex> - вероятность отклонения модуля случайной величины от <tex> x </tex>: <tex>\mathbb E\mathrm |\xi|</tex> - [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайной величины

и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание ]] равно вероятности успеха

|definition = '''Неравенство Чебышева '''(англ. Chebyshev's inequality) является следствием Неравенства [[#thMark|неравенства Маркова ]] и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.}} {{Теорема|about =Неравенство Чебышева|statement = Формулировка == Если <mathtex>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</mathtex>, то <mathtex>\forall x > 0</mathtex> будет выполнено

<mathtex>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \ge geqslant x) \le leqslant \frac dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</mathtex>где == Доказательство =: <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2</tex> - [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] квадрата случайного события.: <tex>E\mathrm \xi</tex> - [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайного события : <tex> P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) </tex> - вероятность отклонения случайного события от его [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] хотя бы на <tex> x</tex> : <tex> \mathbb D\mathrm \xi </tex> - [[Дисперсия случайной величины|дисперсия случайного события]]|proof = Для <mathtex>x>0</mathtex> неравенство <mathtex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge geqslant x</mathtex> равносильно неравенству <mathtex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge geqslant x^2</mathtex>, поэтому <mathtex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge geqslant x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge geqslant x^2 ) \le leqslant \frac dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \frac dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</mathtex>}}

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания ]] более чем на три корня из [[Дисперсия случайной величины|дисперсии ]] мала.

Рассмотрим такое утверждение:{{Утверждение| statement = Если <mathtex>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</mathtex>, то <mathtex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \le leqslant 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\ge geqslant \frac dfrac {8}{9}</mathtex>.

: <mathtex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\ge geqslant 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\le leqslant \frac dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \frac dfrac {1} {9}</mathtex>Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания ]] меньше чем <mathtex>\frac dfrac {1}{9}</mathtex>}}