78
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Фундаментальной матрицей '''(англ. ''Fundamental matrix'') цепи Маркова называется матрица <tex> N = \sum\limits_{i=0}^{\infty} Q^n</tex>, где <tex>Q - </tex> — '''матрица переходов между непоглощающими состояниями. ''', в которой отсутствуют строки с [[Марковская цепь#Поглощающая цепь | поглощающими состояниями]]
}}
Далее, домножив на <tex> (I - Q) ^ {-1} </tex>, получим требуемое равенство.
Осталось лишь доказать, что матрица <tex> (I - Q) ^ {-1} </tex> существует, то есть <tex>(I - Q) </tex> - — невырожденная. Рассмотрим систему линейных уравнений вида:
<tex> (I - Q) x = 0 </tex>
Аналогично, <tex> x = Q^nx </tex> для сколь угодно большого n.
Так как <tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 </tex>, то обязательно <tex> x = 0</tex>. Значит, по альтернативе Фредгольма, матрица <tex> I - Q</tex> - — невырожденная.
}}
== Применение ==
Фундаментальная матрица задает средние времена, которые марковский процесс проводит в невозвратном состоянии.
Так же фундаментальная матрица используется при [[Расчет вероятности поглощения в состоянии|расчете вероятности поглощения в состоянии]]
== Литература ==
* Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова"* [https://en.wikipedia.org/wiki/Absorbing_Markov_chain#Fundamental_matrix Wikipedia - Absorbing Markov Chain, Fundamental matrix]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Марковские цепи ]]
