302
правки
Изменения
Нет описания правки
==Свойства==
Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь<ref>{{Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2) М. Гостехиздат 1956}}</ref>:
<tex>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</tex>
==Функция Каталана в виде непрерывной дроби==
Производящая функция для чисел Каталана удовлетворяет квадратному уравнению <tex>s^{2}Cat^{2}(s) − Cat(s) + 1 = 0.</tex> Перепишем это уравнение в виде <tex>Cat(s) - s^{2}Cat^{2}(s)= 1.</tex> или <tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - s^{2}Cat^{2}(s)}.</tex> Подставив выражение для <tex>Cat(s)</tex> из пдфкилевой части равенства вправую часть того же равенства, получим <tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^{2}Cat(s)}}.</tex> Подставляя вновь выражение для <tex>Cat(s)</tex> в получившееся равенство и продолжая этот процесс, мы получаем представление дляфункции Каталана в виде непрерывной дроби: <tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cdots}}}.</tex>
==См. также==
