302
правки
Изменения
→Разложение дробно-рациональной производящей функции
|proof = Если у нас есть дробно-рациональная производящая функция
<tex>\; f(x) = \cfrac{c_{101,0}+c_{111,1}x+c_{121,2}x^2+\cdots}{c_{000,0}+c_{010,1}x+c_{020,2}x^2+\cdots},</tex>
то в общем случае:
<tex>\; f(x) = \cfrac{1}{\cfrac{c_{000,0}}{c_{101,0}}+\cfrac{c_{000,0}+c_{010,1}x+c_{020,2}x^2+\cdots}{c_{101,0}+c_{111,1}x+c_{121,2}x^2+\cdots}-\cfrac{c_{000,0}}{c_{101,0}}} = \cfrac{c_{101,0}}{c_{000,0}+xf_1(x)},</tex>
где
<tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{202,0}+c_{212,1}x+c_{222,2}x^2+\cdots}{c_{101,0}+c_{111,1}x+c_{121,2}x^2+\cdots}</tex>
и
<tex>\; c_{2k2,k} = c_{101,0} \cdot c_{0,\: k+1} - c_{000,0} \cdot c_{1,\: k+1} \; (k=0,1, \cdots).</tex>
Аналогично
<tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{202,0}}{c_{101,0}+xf_2(x)},</tex>
где
<tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{303,0}+c_{313,1}x+c_{323,2}x^2+\cdots}{c_{202,0}+c_{212,1}x+c_{222,2}x^2+\cdots}</tex>
и
<tex>\; c_{3k3,k} = c_{202,0} \cdot c_{1,\: k+1} - c_{101,0} \cdot c_{2,\: k+1} \; (k=0,1, \cdots)</tex>
и так далее. Таким Образом
<tex>\; f(x) = \cfrac{c_{101,0}}{c_{000,0}+\cfrac{c_{202,0}x}{c_{101,0}+\cfrac{c_{303,0}}{c_{202,0}+\ldots}}} = \biggl[ 0;\cfrac{c_{101,0}}{c_{000,0}},\cfrac{c_{202,0}x}{c_{101,0}},\cfrac{c_{303,0}x}{c_{202,0}}, \cdots , \cfrac{c_{n0n,0}x}{c_{n-1, \: 0}} \biggr], </tex>
При чем легко убедиться, что непрерывная дробь получится конечной.}}
