Изменения

|definition=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множестве <tex>X</tex>. Введем на <tex>X</tex> '''отношение эквивалентности''' <tex>\sim</tex> для <tex>x, y \in X</tex>: <tex>x \sim y</tex>, если <tex>\exists g \in G : x = g \cdot y</tex>. Тогда, если <tex>x \sim y</tex>, то говорят, что <tex>x</tex> и <tex>y</tex> '''равны с точностью до группы'''.}}{{Утверждение|id=eqcontinue|statement=Отношение <tex>\sim</tex> является отношением эквивалентности.|proof=# Рефлексивность. Для любого <tex>x \in X</tex> верно <tex>x = \varepsilon \cdot x</tex>, значит <tex>x \sim x</tex>.# Симметричность. Пусть <tex>x \sim y</tex> для некоторых <tex>x, y \in X</tex>. Тогда существует <tex>g \in G</tex>, такое что <tex>x = g \cdot y</tex>. Пользуясь свойствами групп, получаем следующие равенства: <tex>g^{-1} \cdot x = g^{-1} \cdot (g \cdot y) = (g^{-1} \cdot g) \cdot y = \varepsilon \cdot y = y</tex>. То есть <tex>g^{-1} \cdot x = y</tex>. Значит, <tex>y \sim x</tex>.# Транзитивность. Пусть <tex>x \sim y</tex> и <tex>y \sim z</tex> для некоторых <tex>x, y, z \in X</tex>. Тогда существуют такие <tex>g_1, g_2 \in G</tex>, что <tex>x = g_1 \cdot y</tex>, а <tex>y = g_2 \cdot z</tex>. Отсюда следует, что <tex>x = g_1 \cdot (g_2 \cdot z) = (g_1 \cdot g_2) \cdot z</tex>. То есть, <tex>x \sim z</tex>.