48
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|id=group_action
|definition=[[Группа ]] <tex>G</tex> '''действует на множестве''' <tex>X</tex>, если задано отображение <tex>G \times X \rightarrow X</tex> (обозначается <tex>g \cdot x</tex>), такое что для любого <tex>x \in X</tex>, а также для любых <tex>g_1, g_2 \in G</tex> оно обладает свойствами:
# <tex>(g_1 \cdot g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)</tex>
# <tex>\varepsilon e \cdot x = x</tex>
}}
|statement=Отношение <tex>\sim</tex> является отношением эквивалентности.
|proof=
# Рефлексивность. Для любого <tex>x \in X</tex> верно <tex>x = \varepsilon e \cdot x</tex>, значит <tex>x \sim x</tex>.# Симметричность. Пусть <tex>x \sim y</tex> для некоторых <tex>x, y \in X</tex>. Тогда существует <tex>g \in G</tex>, такое что <tex>x = g \cdot y</tex>. Пользуясь свойствами групп, получаем следующие равенства: <tex>g^{-1} \cdot x = g^{-1} \cdot (g \cdot y) = (g^{-1} \cdot g) \cdot y = \varepsilon e \cdot y = y</tex>. То есть <tex>g^{-1} \cdot x = y</tex>. Значит, <tex>y \sim x</tex>.
# Транзитивность. Пусть <tex>x \sim y</tex> и <tex>y \sim z</tex> для некоторых <tex>x, y, z \in X</tex>. Тогда существуют такие <tex>g_1, g_2 \in G</tex>, что <tex>x = g_1 \cdot y</tex>, а <tex>y = g_2 \cdot z</tex>. Отсюда следует, что <tex>x = g_1 \cdot (g_2 \cdot z) = (g_1 \cdot g_2) \cdot z</tex>. То есть, <tex>x \sim z</tex>.
}}
