436
правок
Изменения
Finalizing
<br>
В данной статье нами рассматривается простой случай ветвящегося процесса, в котором распределение количества потомков одинаково для каждой вершины. <br>
* <tex>y \thicksim Binomial(s = n−c_1\log n, \frac{d}{n})</tex> {{---}} количество детей у очередной исследованной вершины;<br>
* <tex>p_i = \binom{s}{i}(\frac{d}{n})^i(1 − \frac{d}{n})^{s − i}</tex> {{---}} вероятность, что <tex>y</tex> производит <tex>i</tex> детей.<br>
<br>
<tex>f(x) = \sum_{i = 0..\infty}p_ix^i,</tex> где <tex>p_i</tex> {{---}} вероятность того, что <tex>y = i</tex><br>
<br>
Так как <tex>q</tex> {{---}} вероятность конечности алгоритма, то, если у корневой вершины <tex>i</tex> потомков, то построение каждого из поддеревьев должно завршиться, и это произойдет с вероятностью <tex>q^i</tex>. Таким образом:<br>
<tex>q = \sum_{i = 0..\infty}p_iq^i</tex><br>
Таким образом, <tex>q</tex> является корнем уравнения:<br>
<tex>x = \sum_{i = 0..\infty}p_ix^i \Leftrightarrow f(x) = x</tex><br>
<br>
Рассмотрим решение данного уравнения на <tex>[0; 1]</tex>
<tex>x = 1</tex> {{---}} всегда решение данного уравнения, так как <tex>\sum_{i = 0..\infty}p_i1^i = \sum_{i = 0..\infty}p_i = 1 = x</tex>.<br>
В поисках другого, меньшего корня, рассмотрим <tex>m = f'(1) = \sum_{i = 1..\infty}ip_i</tex>, другими словами <tex>m = E(</tex>количество потомков вершины<tex>)</tex>
Кажется, что при <tex>m > 1</tex> дерево будет расти вечно, так как каждая вершина в момент времени <tex>j</tex> должна иметь потомков, однако при <tex>p_0 > 0</tex> с положительной вероятность у корня может вообще не быть потомков. Вспоминая об исходном <tex>G(n,\frac{d}{n})</tex>б ввиду того, что <tex>d</tex> {{---}} ожидаемое количество потомков, <tex>m</tex> играет роль <tex>d</tex>.<br>
[[Файл:Extinction_probability_random_graph.png|300px|center|Решение уравнения f(x)=x]]
Далее, пользуясь описанными выше утверждениями, можно доказать, что:<br>
# <tex>m < 1</tex> <tex>||</tex> <tex>m = 1</tex> <tex>\&</tex> <tex>p_1 < 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> = 1</tex>;<br>
# <tex>m = 1</tex> <tex>\&</tex> <tex>p_1 = 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> = 0</tex>;<br>
# <tex>m > 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> < 1</tex>, но, если <tex>p_0 = 0</tex>, процесс не завершится, так как у каждой вершины найдется по крайней мере один потомок;<br>
Подробное описание доказательств данного факта, а также самих утверждений можно найти в [4].
{{В разработке}}
